Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh đẳng thức sau ($với n \in N^{\ast }$) $2 +5 + 8 + ... + (3n - 1) = \frac{3\left(3n+1\right)}{2}$

Chứng minh đẳng thức sau ($với n \in N^{\ast }$) $1^2 + 3^2 + 5^2 +...+ {\left(2n-1\right)}^2 = \frac{n\left(4n^2 - 1\right)}{3}$

Chứng minh các đẳng thức sau ($với n \in N^{*}$) $1^3 + 2^3 + 3^3 +... +n^3 = \frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in N^{\ast }$ ta có $2n^3 - 3n^2 + n$ chia hết cho 6

Chứng minh rằng với mọi $n \in N^{\ast }$ ta có ${11}^{n + 1} + {12}^{2n-1}$ chia hết cho 133.

Chứng minh các bất đẳng thức sau $(n \in N^{\ast }) 2^{n + 2} > 2n + 5$

Chứng minh các bất đẳng thức sau $(n \in N^{\ast }) {\sin }^{2n}\alpha + {\cos }^{2n}\alpha \le 1.$

Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có $2^n > 2n + 1$

Cho tổng: $S_n = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + ... + \frac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}$

a) Tính $S_1, S_2, S_3, S_4$;

b) Dự đoán công thức tính $S_n$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.