Ôn tập chương 4

Tính các giới hạn sau $lim \frac{{\left(-3\right)}^n + 2.5^n}{1 - 5^n}$

Tính các giới hạn sau $lim \frac{1 + 2 +3 +... + n}{n^2 + n + 1}$

Tính các giới hạn sau $lim \left(\sqrt{n^2 + 2n + 1} - \sqrt{n^2 + n - 1}\right)$

Tìm giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2 + 1}$

Tìm giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = \frac{2^n - n}{3^n + 1}$

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1\\ u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Chứng minh rằng $u_n > 0$ với mọi n.

b) Biết $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $u_n > M$ với mọi n. Chứng minh rằng nếu $lim u_n = a$ thì a ≤ M

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos(1/x) không có giới hạn khi x → 0

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to -2}{\lim } \frac{x + 5}{x^2 + x - 3}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim } \sqrt{x^2 + 8x + 3}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \left(x^3 + 2x^2\sqrt{x} - 1\right)$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to -1}{\lim } \frac{2x^3 - 5x - 4}{{\left(x + 1\right)}^2}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 0}{\lim } \frac{\sqrt{x^2 + 1} - 1}{4 - \sqrt{x^2 + 16}}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 1}{\lim } \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{2x^4 + 5x - 1}{1 - x^2 + x^4}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \frac{x + \sqrt{4x^2 - x + 1}}{1 - 2x}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}\right)$

Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau

f(x) xác định trên R\ {1}

$\underset{x\to 1}{\lim } f\left(x\right) = +\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim } f\left(x\right) = 2; \underset{x\to -\infty }{\lim } f\left(x\right) = 2$

Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 + 5x + 4}{x^{3 } +1} nếu x\ne -1\\ 1 nếu x = 1\end{array}\right.$ trên tập xác định của nó.

Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau

f(x) xác định trên R

y = f(x) liên tục trên (−∞;0) và trên [0;+∞) nhưng gián đoạn tại x = 0

Chứng minh rằng phương trình: $x^5 - 5x – 1 = 0$ có ít nhất ba nghiệm

Chứng minh rằng phương trình: $m{\left(x - 1\right)}^3.(x^2 - 4) + x^4 – 3 = 0$ luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Chứng minh rằng phương trình: $x^3 - 3x = m$ có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m ∈ (-2; 2)

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{x^3 + 8x + 1}{x - 2}$ . Phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không

a) trong khoảng (1; 3)?

b) trong khoảng (-3; 1)?

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn [0; 0,5]