Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1\\ u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Chứng minh rằng $u_n > 0$ với mọi n.

b) Biết $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng phương trình f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn [0; 0,5]

Chứng minh rằng phương trình: $m{\left(x - 1\right)}^3.(x^2 - 4) + x^4 – 3 = 0$ luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos(1/x) không có giới hạn khi x → 0

Tìm giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2 + 1}$

Chứng minh rằng phương trình: $x^5 - 5x – 1 = 0$ có ít nhất ba nghiệm