Ôn tập chương 3

Chứng minh rằng Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $A_n = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + ... + \frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)} = \frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $B_n = 1 + 3 + 6 + 10 +... + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $S_n = \sin x + \sin 2x + ... + \sin nx = \frac{\sin {\displaystyle \frac{nx}{2}}. \sin {\displaystyle \frac{\left(n+1\right)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}$

Chứng minh các bất đẳng thức sau 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1; u_2 = 2\\ u_{n+1} = 2u_n - u_{n-1} +1 với n\ge 2\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = u_n + 1 - u_n$. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;

Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = \frac{1}{3}\\ u_{n+1} = \frac{\left(n+1\right)u_n}{3n} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = \frac{u_n}{n}$ . Chứng minh dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n.

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi $S_c$ là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và $S_l$ là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng: $q = \frac{S_c}{S_l}$

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không?

Tính tổng: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + .... + \frac{2n-1}{2^n}$

Tính tổng: $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + {\left(-1\right)}^{n-1}.n^2$

Tính tổng: $S_n = 1 + 2.a + 3.a^2 + ... + n.a^{n-1}$

Tìm m để phương trình $x^4 - (3m + 5)x^2 + {\left(m + 1\right)}^2 = 0$ có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.