Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1; u_2 = 2\\ u_{n+1} = 2u_n - u_{n-1} +1 với n\ge 2\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = u_n + 1 - u_n$. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;

Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = \frac{1}{3}\\ u_{n+1} = \frac{\left(n+1\right)u_n}{3n} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = \frac{u_n}{n}$ . Chứng minh dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n.

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Tính tổng: $S_n = 1 + 2.a + 3.a^2 + ... + n.a^{n-1}$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $S_n = \sin x + \sin 2x + ... + \sin nx = \frac{\sin {\displaystyle \frac{nx}{2}}. \sin {\displaystyle \frac{\left(n+1\right)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $B_n = 1 + 3 + 6 + 10 +... + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$

Tính tổng: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + .... + \frac{2n-1}{2^n}$