Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $S_n = \sin x + \sin 2x + ... + \sin nx = \frac{\sin {\displaystyle \frac{nx}{2}}. \sin {\displaystyle \frac{\left(n+1\right)x}{2}}}{\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}}$

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1; u_2 = 2\\ u_{n+1} = 2u_n - u_{n-1} +1 với n\ge 2\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = u_n + 1 - u_n$. Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng;

Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = \frac{1}{3}\\ u_{n+1} = \frac{\left(n+1\right)u_n}{3n} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Lập dãy số $\left(v_n\right)$ với $v_n = \frac{u_n}{n}$ . Chứng minh dãy số $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân.

c) Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n.

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Tính tổng: $S_n = 1 + 2.a + 3.a^2 + ... + n.a^{n-1}$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $B_n = 1 + 3 + 6 + 10 +... + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$

Tính tổng: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + .... + \frac{2n-1}{2^n}$