Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d có đồ thị (C). Biết rằng (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 > x2 > x3 > 0 và trung điểm nối 2 điểm cực trị của (C) có hoành độ x0=13. Biết rằng 3x1+4x2+5x...

Chọn C.Tập xác định: D=R Ta có y=3ax2+2bx+c Do đồ thị (C) có hai điểm cực trị nên ta có phương trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt hay là phương trình 3ax2+2bx+c=0 có hai nghiệm phân biệt xi, xj và hai nghiệm này cũng chính là hoành độ của hai điểm cực trị của đồ thị (C). theo vi-ét ta có xi+xj=-2b3a. Suy ra hoành độ giao điểm nối hai điểm cực trị là x0=xi+xj2=13⇔-2b3a=23⇔b=-a. Mặt khác do giả thiết ta có phương trình ax3+bx2+cx+d=0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 nên theo vi-ét ta có x1+x2+x3=-ba=aa=1.Ta có: 3x1+4x2+5x32=44x1x2+x2x3+x3x1⇔9x12+16x22+25x32=20x1x2+4x2x3+14x3x1 ⇔203x12+403x22+x22+4x32+73x12+21x32=20x1x2+4x2x3+14x3x1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có:534x12+9x22≥53.24x11.9x22=20x1x2 (1).x22+4x32≥2x22.4x32=4x1x2 (2).7124x12+36x32≥712.24x12.36x32=14x3x1 (3).Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế ta có: 9x12+16x22+25x32≥20x1x2+4x2x3+14x3x1. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 4x12=9x22x22=4x324x12=36x32x1+x2+x3=1⇔x1=32x2x2=2x3x3=13x1x1+x2+x3=1⇔x1=12x2=13x3=16. Vậy S=x1+x22+x32=12+132+163=133216.

Câu hỏi:

05/05/2020 588

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị (C). Biết rằng (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x₁ > x₂ > x₃ > 0 và trung điểm nối 2 điểm cực trị của (C) có hoành độ $x_{0} = \frac{1}{3} .$ Biết rằng ${(3 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3})}^{2} = 44 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) .$ Hãy xác định tổng $S = x_{1} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} .$

A. $\frac{137}{216} .$

B. $\frac{45}{157} .$

C. $\frac{133}{216} .$

D.1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bô đề luyện thi thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.

Tập xác định: D=R Ta có $y = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Do đồ thị (C) có hai điểm cực trị nên ta có phương trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt hay là phương trình $3 a x^{2} + 2 b x + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt x_i, x_j và hai nghiệm này cũng chính là hoành độ của hai điểm cực trị của đồ thị (C). theo vi-ét ta có $x_{i} + x_{j} = - \frac{2 b}{3 a} .$

Suy ra hoành độ giao điểm nối hai điểm cực trị là

$x_{0} = \frac{x_{i} + x_{j}}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow - \frac{2 b}{3 a} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = - a .$

Mặt khác do giả thiết ta có phương trình $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ có ba nghiệm phân biệt x₁, x₂, x₃ nên theo vi-ét ta có $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} = \frac{a}{a} = 1 .$

Ta có:

${(3 x_{1} + 4 x_{2} + 5 x_{3})}^{2} = 44 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) \Leftrightarrow 9 x_{1}^{2} + 16 x_{2}^{2} + 25 x_{3}^{2} = 20 x_{1} x_{2} + 4 x_{2} x_{3} + 14 x_{3} x_{1}$

$\Leftrightarrow \frac{20}{3} x_{1}^{2} + \frac{40}{3} x_{2}^{2} + x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} + \frac{7}{3} x_{1}^{2} + 21 x_{3}^{2} = 20 x_{1} x_{2} + 4 x_{2} x_{3} + 14 x_{3} x_{1}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có:

$\frac{5}{3} (4 x_{1}^{2} + 9 x_{2}^{2}) \geq \frac{5}{3} . 2 \sqrt{4 x_{1}^{1} . 9 x_{2}^{2}} = 20 x_{1} x_{2}$ (1).
$x_{2}^{2} + 4 x_{3}^{2} \geq 2 \sqrt{x_{2}^{2} . 4 x_{3}^{2}} = 4 x_{1} x_{2}$ (2).
$\frac{7}{12} (4 x_{1}^{2} + 36 x_{3}^{2}) \geq \frac{7}{12} . 2 \sqrt{4 x_{1}^{2} . 36 x_{3}^{2}} = 14 x_{3} x_{1}$ (3).

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế ta có: $9 x_{1}^{2} + 16 x_{2}^{2} + 25 x_{3}^{2} \geq 20 x_{1} x_{2} + 4 x_{2} x_{3} + 14 x_{3} x_{1} .$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} 4 x_{1}^{2} = 9 x_{2}^{2} \\ x_{2}^{2} = 4 x_{3}^{2} \\ 4 x_{1}^{2} = 36 x_{3}^{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{3}{2} x_{2} \\ x_{2} = 2 x_{3} \\ x_{3} = \frac{1}{3} x_{1} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{1}{2} \\ x_{2} = \frac{1}{3} \\ x_{3} = \frac{1}{6} \end{cases} .$

Vậy $S = x_{1} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = \frac{1}{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{6})}^{3} = \frac{133}{216} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; + \infty) .$ Đồ thị hàm số y=f(x) là đường cong trong hình vẽ bên.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. ${\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = 2$

B. ${\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = 0.$

C. ${\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)$

D. ${\max }\limits_{\left[ {3;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

Lời giải

Chọn C.

Từ đồ thị dễ thấy hàm số nghịch biến và liên tục trên [-3;0] nên

Câu 2

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ bên.
Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

A.f đạt cực tiểu tại x = 0

B. f đạt cực tiểu tại x = -2.

C. f đạt cực đại tại x = -2.

D. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.

Lời giải

Chọn B.

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên:

Câu 3

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ là

A.7

B. -25.

C. -20.

D. 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho 2 tập hợp $M = (2; 11]$ và $N = [2; 11)$ . Khi đó là

A.(2;11)

B.[2;11]

C.{2}

D.{11}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Gọi $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - x y + x + y = 8 \\ x y + 3 (x + y) = 1 \end{cases} .$ Tính $|x_{1} - x_{2}| .$

A.3

B.2

C.1

D.0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = x^{3} - x^{2} - m x + 1$ có đồ thị (C). Tìm tham số m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

A.m<0

B.m>1

C. $m \leq 1 .$

D. $m \geq 0 .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong các đường tròn sau đây, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox?

A. $x^{2} + y^{2} = 5 .$

B. $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0 .$

C. $x^{2} + y^{2} - 10 x + 1 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 = 0 .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (-∞;12) và 12;+∞. Đồ thị hàm số y=f(x) là đường cong trong hình vẽ bên.Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ bên.Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

Giá trị cực tiểu của hàm số y=x3-3x2-9x+2 là

Cho 2 tập hợp M=2;11 và N=2;11. Khi đó là

Gọi x1;y1,x2;y2 là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình x2+y2-xy+x+y=8xy+3x+y=1.Tính x1-x2.

Cho hàm số y=x3-x2-mx+1 có đồ thị (C). Tìm tham số m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

Trong các đường tròn sau đây, đường tròn nào tiếp xúc với trục Ox?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; \frac{1}{2})$ và $(\frac{1}{2}; + \infty) .$ Đồ thị hàm số y=f(x) là đường cong trong hình vẽ bên.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R, đồ thị của đạo hàm f'(x) như hình vẽ bên.
Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào sai?

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ là

Cho 2 tập hợp $M = (2; 11]$ và $N = [2; 11)$ . Khi đó là

Gọi $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - x y + x + y = 8 \\ x y + 3 (x + y) = 1 \end{cases} .$ Tính $|x_{1} - x_{2}| .$

Cho hàm số $y = x^{3} - x^{2} - m x + 1$ có đồ thị (C). Tìm tham số m để (C) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt