Con lắc thử đạn là một bao cát, khối lượng 19,9kg, treo vào một sợi dây có chiều dài là 2m. Khi bắn một đầu đạn khối lượng 100g theo phương nằm ngang, thì đầu đạn cắm vào bao cát và nâng bao cát lên cao theo một cung tròn  là cho trọng tâm của bao cát sao cho dây treo bao cát hợp với phương thẳng đứng một góc ${60}^0$  

a. Xác định vận tốc v của viên đạn trước lúc va chạm vào bao cát.

b. Xác định năng lượng tỏa ra khi viên đạn găm vào bao cát

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng

a. Ta có cơ năng

$$\begin{gathered} \text{W}=mgz=mgl(1-\cos {60}^0) \\ =0,\mathrm{5.10.1}(1-0,5)=2,5\left(J\right) \end{gathered}$$

b. Theo định luật bảo toàn cơ năng

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B\Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_B^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2g(z_A-z_B)}\begin{array}{cc}& \left(1\right)\end{array} \\ Mà z_A=HM=l-OM=l-l\cos {\alpha }_0 \\ {z}_B=l-l\cos \alpha \end{gathered}$$ 

Thay vào ( 1 ) ta có 

$$\begin{gathered} v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ + Khi \alpha ={30}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {30}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,71(m/s) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} + Khi \alpha ={45}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {45}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,035(m/s) \end{gathered}$$

Xét tai B theo định luật II Newton ta có: $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây

$$\begin{gathered} T-P_y=m{a}_{ht} \\ \Rightarrow T-P\cos \alpha =m\frac{v^2}{l} \\ \Rightarrow T-mg\cos \alpha \\ =2mg(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0) \\ \Rightarrow T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0) \end{gathered}$$

Khi $\alpha ={30}^0$ $\Rightarrow T=mg(3\cos {30}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{3}}{2}-2.\frac{1}{2})=7,99\left(N\right)$

Khi $\alpha ={45}^0$ $\Rightarrow T=mg(3\cos {45}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{2}}{2}-2.\frac{1}{2})=5,61 N$

Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm thì các em áp dụng luôn hai công thức

+ Vận tốc của vật tại vị trí bất kỳ: $v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

+ Lực căng của sợi dây: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0)$

c. Gọi C là vị trí để vật có  v= 1,8m/s

Áp dụng công thức $v_C=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

$$\begin{gathered} 1,8=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\cos \alpha -\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,662\Rightarrow \alpha =48,{55}^0 \end{gathered}$$

Vật có đọ cao

 $z_C=l-l\cos \alpha =1-1.0,662=0,338\left(m\right)$

d. Gọi D là vị trí vật có độ cao 0,18m

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} z_D=l-l\cos \alpha \\ \Rightarrow 0,18=1-1.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,82 \end{gathered}$$

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1.}(0,82-0,5)}=2,53(m/s) \end{gathered}$$

e. Gọi E là vị trí mà 2$w_t=w_{đ}$  Theo định luật bảo toàn cơ năng ${\text{W}}_A={\text{W}}_E$

  $$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dE}+{\text{W}}_{tE}=\frac{3}{2}{\text{W}}_{dE} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.m{v}_E^2 \\ \Rightarrow v_E=\sqrt{\frac{2,5.4}{3.m}}=\sqrt{\frac{10}{3.0,5}}=2,581(m/s) \end{gathered}$$ 

f.  Gọi F là vị trí để 2 $w_t=3w_{đ}$

Theo định luật bảo toàn cơ năng  ${\text{W}}_A={\text{W}}_F$

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dF}+{\text{W}}_{tF}=\frac{5}{3}{\text{W}}_{tF} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{5}{3}.mg{z}_F \\ \Rightarrow z_F=\frac{2,5.3}{5.m.g}=0,3\left(m\right) \\ Mà z_F=l-l\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow 0,3=1-1.\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_F=0,7 \\ \Rightarrow {\alpha }_F=45,{573}^0 \end{gathered}$$

Mặt khác $$\begin{gathered} v_F=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_F-\cos {60}^0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1}(0,7-0,5)}=2(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại F theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_F+T_F \\ =m\frac{v_F^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{5.10.0},7+T_F=0,5.\frac{2^2}{1} \\ \Rightarrow T=5,5\left(N\right) \end{gathered}$$

a. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_H={\text{W}}_A\Rightarrow \frac{1}{2}m{v}_H^2=mg{z}_A \\ \Rightarrow z_A=\frac{v_H^2}{2g}=\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2.10}=0,4\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_A=l-l\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow 0,4=0,8-0,8.\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_0=\frac{1}{2}\Rightarrow {\alpha }_0={60}^0 \end{gathered}$$

Vậy vật có độ cao z= 0,4 m so với vị trí cân bằng và dây hợp với phương thẳng đứng một góc ${60}^0$

 b. Theo điều kiện cân bằng năng lượng  

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B \\ mg{z}_A=mg{z}_B+\frac{1}{2}m{v}_B^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=10.0,8(1-cos{30}^0)=\frac{1}{2}{v}_B^2 \\ \Rightarrow v_B=2,42(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại B theo định luật II Newton 

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$\begin{array}{l}-P\cos \alpha +T=m\frac{v_B^2}{l}\\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\cos {30}^0+T=0,2.\frac{2,{42}^2}{0,8}\\ \Rightarrow T=3,2\left(N\right)\end{array}$

c. Gọi C là vị trí để vật có vận tốc $\sqrt{2}(m/s)$  .

Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_C \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_C^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{1}{2}{v}_C^2+g{z}_C \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{1}{2}.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+10.z_C \\ \Rightarrow z_C=0,3\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_C=l-l\cos {\alpha }_C \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_C=\frac{5}{8} \\ \Rightarrow {\alpha }_C=51,{32}^0 \end{gathered}$$

Xét tại C theo định luật II Newton $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_C+T_C=m\frac{v_C^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{5}{8}+T_C=0,2.\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=1,75\left(N\right) \end{gathered}$$

d. Gọi D là vị trí để ${\text{W}}_d=3W_t$ . Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_D \\ \Rightarrow mg{z}_A={\text{W}}_{\text{dD}}+{\text{W}}_{tD} \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{4}{3}{\text{W}}_{\text{dD}} \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}{v}_D^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{4}{6}.v_D^2\Rightarrow v_D=\sqrt{6}(m/s) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_D-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \sqrt{6}=\sqrt{\mathrm{2.10.0},8(\cos {\alpha }_D-0,5)} \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_D=\frac{7}{8} \end{gathered}$$

Xét tại D theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_D+T_D=m\frac{v_D^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{7}{8}+T_D=0,2.\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=3,25\left(N\right) \end{gathered}$$