BÀI TOÁN VỀ CON LẮC ĐƠN

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng

a. Ta có cơ năng

$$\begin{gathered} \text{W}=mgz=mgl(1-\cos {60}^0) \\ =0,\mathrm{5.10.1}(1-0,5)=2,5\left(J\right) \end{gathered}$$

b. Theo định luật bảo toàn cơ năng

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B\Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_B^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2g(z_A-z_B)}\begin{array}{cc}& \left(1\right)\end{array} \\ Mà z_A=HM=l-OM=l-l\cos {\alpha }_0 \\ {z}_B=l-l\cos \alpha \end{gathered}$$ 

Thay vào ( 1 ) ta có 

$$\begin{gathered} v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ + Khi \alpha ={30}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {30}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,71(m/s) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} + Khi \alpha ={45}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {45}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,035(m/s) \end{gathered}$$

Xét tai B theo định luật II Newton ta có: $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây

$$\begin{gathered} T-P_y=m{a}_{ht} \\ \Rightarrow T-P\cos \alpha =m\frac{v^2}{l} \\ \Rightarrow T-mg\cos \alpha \\ =2mg(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0) \\ \Rightarrow T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0) \end{gathered}$$

Khi $\alpha ={30}^0$ $\Rightarrow T=mg(3\cos {30}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{3}}{2}-2.\frac{1}{2})=7,99\left(N\right)$

Khi $\alpha ={45}^0$ $\Rightarrow T=mg(3\cos {45}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{2}}{2}-2.\frac{1}{2})=5,61 N$

Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm thì các em áp dụng luôn hai công thức

+ Vận tốc của vật tại vị trí bất kỳ: $v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

+ Lực căng của sợi dây: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0)$

c. Gọi C là vị trí để vật có  v= 1,8m/s

Áp dụng công thức $v_C=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

$$\begin{gathered} 1,8=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\cos \alpha -\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,662\Rightarrow \alpha =48,{55}^0 \end{gathered}$$

Vật có đọ cao

 $z_C=l-l\cos \alpha =1-1.0,662=0,338\left(m\right)$

d. Gọi D là vị trí vật có độ cao 0,18m

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} z_D=l-l\cos \alpha \\ \Rightarrow 0,18=1-1.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,82 \end{gathered}$$

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1.}(0,82-0,5)}=2,53(m/s) \end{gathered}$$

e. Gọi E là vị trí mà 2$w_t=w_{đ}$  Theo định luật bảo toàn cơ năng ${\text{W}}_A={\text{W}}_E$

  $$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dE}+{\text{W}}_{tE}=\frac{3}{2}{\text{W}}_{dE} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.m{v}_E^2 \\ \Rightarrow v_E=\sqrt{\frac{2,5.4}{3.m}}=\sqrt{\frac{10}{3.0,5}}=2,581(m/s) \end{gathered}$$ 

f.  Gọi F là vị trí để 2 $w_t=3w_{đ}$

Theo định luật bảo toàn cơ năng  ${\text{W}}_A={\text{W}}_F$

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dF}+{\text{W}}_{tF}=\frac{5}{3}{\text{W}}_{tF} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{5}{3}.mg{z}_F \\ \Rightarrow z_F=\frac{2,5.3}{5.m.g}=0,3\left(m\right) \\ Mà z_F=l-l\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow 0,3=1-1.\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_F=0,7 \\ \Rightarrow {\alpha }_F=45,{573}^0 \end{gathered}$$

Mặt khác $$\begin{gathered} v_F=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_F-\cos {60}^0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1}(0,7-0,5)}=2(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại F theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_F+T_F \\ =m\frac{v_F^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{5.10.0},7+T_F=0,5.\frac{2^2}{1} \\ \Rightarrow T=5,5\left(N\right) \end{gathered}$$

a. Chọn mốc thế năng là vị trí cân bằng của bao cát

Vận tốc của bao cát và viên đạn ngay sau khi va chạm. Theo định luật bảo toàn cơ năng

$$\begin{gathered} {\text{W}}_H={\text{W}}_A \\ \Rightarrow \frac{1}{2}(m+m_0)V_H^2=(m+m_0)g{z}_A \\ Mà z_A=l-l\cos {60}^0=l(1-\cos {60}^0) \\ \Rightarrow V_H=\sqrt{2gl(1-cos{60}^0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.2}(1-\frac{1}{2})}=2\sqrt{5}(m/s) \end{gathered}$$

Theo định luật bảo toàn động lượng

 $$\begin{gathered} m_0{v}_0=(m+m_0)V_H \\ \Rightarrow v_0=\frac{(m+m_0)V_H}{m_0} \\ =\frac{(19,9+0,1).2\sqrt{5}}{0,1}=400\sqrt{5}(m/s) \end{gathered}$$

b. Độ biến thiên động năng 

$$\begin{gathered} \Delta {\text{W}}_d={\text{W}}_{d_2}-{\text{W}}_{d_1} \\ =\frac{m+m_0}{2}{\left(\frac{m_0{v}_0}{m+m_0}\right)}^2-\frac{m_0{v}_0^2}{2} \\ \Rightarrow \Delta {\text{W}}_d=(\frac{m_0}{m+m_0}-1)\frac{m_0{v}_0^2}{2} \\ =-\frac{m}{m+m_0}.\frac{m_0.v_0^2}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \Delta {\text{W}}_d=-\frac{19,9}{19,9+0,1}.\frac{0,1.{\left(400\sqrt{5}\right)}^2}{2} \\ =-39800\left(J\right) \end{gathered}$$

Vậy năng lượng được chuyển hóa thành nhiệt năng là 39800 J

a. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_H={\text{W}}_A\Rightarrow \frac{1}{2}m{v}_H^2=mg{z}_A \\ \Rightarrow z_A=\frac{v_H^2}{2g}=\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2.10}=0,4\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_A=l-l\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow 0,4=0,8-0,8.\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_0=\frac{1}{2}\Rightarrow {\alpha }_0={60}^0 \end{gathered}$$

Vậy vật có độ cao z= 0,4 m so với vị trí cân bằng và dây hợp với phương thẳng đứng một góc ${60}^0$

 b. Theo điều kiện cân bằng năng lượng  

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B \\ mg{z}_A=mg{z}_B+\frac{1}{2}m{v}_B^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=10.0,8(1-cos{30}^0)=\frac{1}{2}{v}_B^2 \\ \Rightarrow v_B=2,42(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại B theo định luật II Newton 

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$\begin{array}{l}-P\cos \alpha +T=m\frac{v_B^2}{l}\\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\cos {30}^0+T=0,2.\frac{2,{42}^2}{0,8}\\ \Rightarrow T=3,2\left(N\right)\end{array}$

c. Gọi C là vị trí để vật có vận tốc $\sqrt{2}(m/s)$  .

Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_C \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_C^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{1}{2}{v}_C^2+g{z}_C \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{1}{2}.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+10.z_C \\ \Rightarrow z_C=0,3\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_C=l-l\cos {\alpha }_C \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_C=\frac{5}{8} \\ \Rightarrow {\alpha }_C=51,{32}^0 \end{gathered}$$

Xét tại C theo định luật II Newton $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_C+T_C=m\frac{v_C^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{5}{8}+T_C=0,2.\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=1,75\left(N\right) \end{gathered}$$

d. Gọi D là vị trí để ${\text{W}}_d=3W_t$ . Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_D \\ \Rightarrow mg{z}_A={\text{W}}_{\text{dD}}+{\text{W}}_{tD} \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{4}{3}{\text{W}}_{\text{dD}} \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}{v}_D^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{4}{6}.v_D^2\Rightarrow v_D=\sqrt{6}(m/s) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_D-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \sqrt{6}=\sqrt{\mathrm{2.10.0},8(\cos {\alpha }_D-0,5)} \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_D=\frac{7}{8} \end{gathered}$$

Xét tại D theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_D+T_D=m\frac{v_D^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{7}{8}+T_D=0,2.\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=3,25\left(N\right) \end{gathered}$$