Cho một con lắc đơn gồm có sợi dây dài 80 cm và vật nặng có khối lượng 200g. Khi vật đang ở vị trí cân bằng thì truyền cho vật một vận tốc là $2\sqrt{2}(m/s)$. Lấy $g=10(m/s^2)$

a. Xác định vị trí cực đại mà vật có thể lên tới ?.

b. Xác định vận tốc của vật ở vị trí dây lệch với phương thẳng đứng là và lực căng sợi dây khi đó ?.

c. Xác định vị trí để vật có vận tốc $\sqrt{2}m/s$. Xác định lực căng sợi dây khi đó ?.

d. Xác định vận tốc để vật có ${\text{W}}_d=3W_t$ , lực căng của vật khi đó ?.

a. Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_H={\text{W}}_A\Rightarrow \frac{1}{2}m{v}_H^2=mg{z}_A \\ \Rightarrow z_A=\frac{v_H^2}{2g}=\frac{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2.10}=0,4\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_A=l-l\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow 0,4=0,8-0,8.\cos {\alpha }_0 \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_0=\frac{1}{2}\Rightarrow {\alpha }_0={60}^0 \end{gathered}$$

Vậy vật có độ cao z= 0,4 m so với vị trí cân bằng và dây hợp với phương thẳng đứng một góc ${60}^0$

 b. Theo điều kiện cân bằng năng lượng  

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B \\ mg{z}_A=mg{z}_B+\frac{1}{2}m{v}_B^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=10.0,8(1-cos{30}^0)=\frac{1}{2}{v}_B^2 \\ \Rightarrow v_B=2,42(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại B theo định luật II Newton 

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$\begin{array}{l}-P\cos \alpha +T=m\frac{v_B^2}{l}\\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\cos {30}^0+T=0,2.\frac{2,{42}^2}{0,8}\\ \Rightarrow T=3,2\left(N\right)\end{array}$

c. Gọi C là vị trí để vật có vận tốc $\sqrt{2}(m/s)$  .

Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_C \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_C^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{1}{2}{v}_C^2+g{z}_C \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{1}{2}.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+10.z_C \\ \Rightarrow z_C=0,3\left(m\right) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} z_C=l-l\cos {\alpha }_C \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_C=\frac{5}{8} \\ \Rightarrow {\alpha }_C=51,{32}^0 \end{gathered}$$

Xét tại C theo định luật II Newton $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_C+T_C=m\frac{v_C^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{5}{8}+T_C=0,2.\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=1,75\left(N\right) \end{gathered}$$

d. Gọi D là vị trí để ${\text{W}}_d=3W_t$ . Theo định luật bảo toàn cơ năng 

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_D \\ \Rightarrow mg{z}_A={\text{W}}_{\text{dD}}+{\text{W}}_{tD} \\ \Rightarrow mg{z}_A=\frac{4}{3}{\text{W}}_{\text{dD}} \\ \Rightarrow g{z}_A=\frac{4}{3}.\frac{1}{2}{v}_D^2 \\ \Rightarrow 10.0,4=\frac{4}{6}.v_D^2\Rightarrow v_D=\sqrt{6}(m/s) \end{gathered}$$

Mà $$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_D-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \sqrt{6}=\sqrt{\mathrm{2.10.0},8(\cos {\alpha }_D-0,5)} \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_D=\frac{7}{8} \end{gathered}$$

Xét tại D theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_D+T_D=m\frac{v_D^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{2.10.}\frac{7}{8}+T_D=0,2.\frac{{\left(\sqrt{6}\right)}^2}{0,8} \\ \Rightarrow T=3,25\left(N\right) \end{gathered}$$