Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi. Tính xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng nguyên lý bù trừ trong bài toán xác suất

Lời giải:

Ta tính xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ.

Mỗi phong bì có 4 cách bỏ thư vào nên có tất cả 4! cách bỏ thư.

Gọi U là tập hợp các cách bò thư và ${\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}$ là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ.

Khi đó, theo công thức về nguyên lý bù trừ, ta có $\overline{N}=4!-N_1+N_2-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^4{N}_4$ 

Trong đó $N_m\left(1\le m\le 4\right)$ là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ.

Nhận xét rằng, ${\mathrm{N}}_{\mathrm{m}}$ là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ 4 lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có $\left(4-m\right)!$ cách bỏ m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được: $N_m=C_4^m.\left(4-m\right)!=\frac{4!}{k!}$ và 

$\overline{N}=4!\left(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^n.\frac{1}{4!}\right)$

Suy ra xác suất cần tìm cho việc không lá thư nào đúng địa chỉ là $\overline{P}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\mathrm{...}+{\left(-1\right)}^4.\frac{1}{4!}$

Vậy xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó là $P=1-\overline{P}=\frac{5}{8}$