Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-2}$ có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến $\Delta$ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến của $\Delta$ của (C)tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào

Đáp án A

Vì I là tâm đối xứng của đồ thị $\left(C\right)\Rightarrow I\left(2;2\right)$ 

Gọi $M\left(x_0;\frac{2x_0-1}{x_0-2}\right)\in \left(C\right)\Rightarrow y\text{'}\left(x_0\right)=-\frac{3}{{\left(x_0-2\right)}^2}$ suy ra phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là

$y-y_0=y\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\iff y-\frac{2x_0-1}{x_0-2}=-\frac{3}{{\left(x_0-2\right)}^2}\left(x-x_0\right)\iff y=-\frac{3}{{\left(x_0-2\right)}^2}+\frac{2x_0^2-2x_0+2}{{\left(x_0-2\right)}^2}$ 

Đường thẳng $\Delta$ cắt TCĐ tại $A\left(2;y_A\right)\stackrel{}{\to }{y}_A=\frac{2x_0+2}{x_0-2}\Rightarrow A\left(2;\frac{2x_0+2}{x_0-2}\right)$ 

Đường thẳng $\Delta$ cắt TCN tại $B\left(x_B;2\right)\stackrel{}{\to }{x}_B=2x_0-2\Rightarrow B\left(2x_0-2;2\right)$ 

Suy ra $IA=\frac{6}{\left|x_0-2\right|};IB=2\left|x_0-2\right|\stackrel{}{\to }IA.IB=\frac{6}{\left|x_0-2\right|}.2\left|x_0-2\right|=12$

Tam giác IAB vuông tại $I\Rightarrow R_{\Delta IAB}=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{I{A}^2+I{B}^2}}{2}\ge \frac{\sqrt{2IA.IB}}{2}=\sqrt{6}$ 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $IA=IB\iff 3={\left(x_0-2\right)}^2\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=2+\sqrt{3}\\ x_0=2-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ và gọi M, N lần lượt là giao điểm của $\Delta$ với Ox, Oy

Khi đó $M\left(\frac{2x_0^2-2x_0+2}{3};0\right),N\left(0;\frac{2x_0^2-2x_0+2}{3}\right)\Rightarrow S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}OM.ON$

Vậy $S_{max}=14+8\sqrt{3}\approx 27,85\in \left(27;28\right)khi{\text{ x}}_0=2+\sqrt{3}$