Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $\ln \left(\frac{1-2x}{x+y}\right)=3x+y-1.$ Tính giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của biểu thức $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}.$

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục hoành và hai đường thẳng $\mathrm{x}=\mathrm{a},\mathrm{x}=\mathrm{b}\left(\mathrm{a}\le \mathrm{b}\right)$ có diện tích S là:

Phương trình tiếp tuyến của đường cong $y=x^3+3x^2-2$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là:

Cho $n\in {\mathbb{N}}^{\ast },$ dãy $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng với $u_2=5$ và công sai d = 3. Khi đó $u_{81}$ bằng:

Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C) biết rằng (C) đi qua điểm A(-1;0) tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x = 0; x = 2 có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng $x=-1;x=0$ có diện tích bằng:

Cho dãy số $\left(U_n\right)$ xác định bởi $U_1=\frac{1}{3}$ và $U_{n+1}=\frac{n+1}{3n}{U}_n.$ Tổng $S=U_1+\frac{U_2}{2}+\frac{U_3}{3}+\mathrm{...}+\frac{U_{10}}{10}$ bằng:

Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}2x\ln \left(x+1\right)dx=a\ln b,$ với $a,b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{\ast }$ và b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, $SA=a\sqrt{3}$ vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng: