Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(\mathrm{S}\right):{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2+{\mathrm{z}}^2=1$ và mặt phẳng $\left(\mathrm{Q}\right):2\text{x}-2\mathrm{y}-\mathrm{z}+1=0$. Viết phương trình mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q)

Đáp án D

Mặt cầu $\left(S_1\right)$ có tâm M(2;1;0) và có bán kính $R_1=1$

Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Q)

Ta có $M{M}^{\text{'}}\perp \left(Q\right)$ nên đường thẳng MM' đi qua điểm M và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) làm vectơ chỉ phương.

=> phương trình tham số đường thẳng MM': $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1-2t\\ z=-t\end{array}\right.,t\in ℝ$

Vì M' là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng $\left(Q\right)\Rightarrow M^{\text{'}}=M{M}^{\text{'}}\cap \left(Q\right)$

=> tọa độ điểm M' là nghiệm hệ phương trình:

 $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2x-2y-z+1=0\\ x=2+2t\\ y=1-2t\\ z=-t\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}2\left(2+t\right)-2\left(1-2t\right)-\left(-t\right)+1=0\\ x=2+2t\\ y=1-2t\\ z=-t\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}t=-\frac{1}{3}\\ x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{5}{3}\\ z=\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}$

$\Rightarrow {\mathrm{M}}^{\text{'}}\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$

Gọi I(x;y;z) là tâm của mặt cầu (S'), do mặt cầu (S') đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Q) => I đối xứng với M qua mặt phẳng (Q)

=> I đối xứng với M qua mặt phẳng M'

=> M' là trung điểm của đường thẳng IM.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=2x_{M^{\text{'}}}-x_M=\frac{2}{3}\\ y=2y_{M^{\text{'}}}-y_M=\frac{7}{3}\\ z=2z_{M^{\text{'}}}-z_M=\frac{2}{3}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\frac{2}{3};\frac{7}{3};\frac{2}{3}\right)$

Khi đó mặt cầu (S') có tâm $I\left(\frac{2}{3};\frac{7}{3};\frac{2}{3}\right)$, bán kính R' = R = 1 nên có phương trình: 

${\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{7}{3}\right)}^2+{\left(z-\frac{2}{3}\right)}^2=1$