Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó sao cho $CAB=\alpha$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB. Biết $\alpha ={\alpha }_0$ thì thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. Khi đó ${\alpha }_0$ bằng 

Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là $S_n=3n^2+4n$ với $n\in {\mathbb{N}}^{+}$. Giá trị của số hạng thứ 10 của cấp số cộng là

Số tự nhiên n thỏa mãn $C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\mathrm{...}+n{C}_n^n=11264$. Khẳng định nào sau đây đúng? 

Gọi D là tập xác định của hàm số $y={\log }_{x+1}\left(25-x^2\right)$ . Hỏi có bao nhiêu số nguyên thuộc tập D?

Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2x.f\left(\sin x\right)dx=22;\underset{e}{\overset{e^2}{\int }}\frac{\ln x}{x}.f\left(\ln x\right)dx=11$ và f(x) liên tục trên R. Khi đó, $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\left(x\right)dx$ bằng bao nhiêu? 

Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu, được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ nhật ABCD và hai đường Parabol cắt nhau tại trung điểm của MN (như hình vẽ). Biết $AB=4m,AD=2m.$  Tính diện tích phần đất còn lại? 

Cho hình chóp S.ABCD có diện tích đáy ABCD bằng 2  và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 4. Khi đó khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABCD) bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\ln \left(m+13\sin x+\ln \left(m+15\sin x\right)\right)=2\sin x$ có nghiệm thực?