Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

Đáp án C

• Đáp án A sai vì: 

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{{\mathrm{x}}^2}}}=1; \\ \underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}}=\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{1}{-\sqrt{1-\frac{4}{{\mathrm{x}}^2}}}=-1 \end{gathered}$$

=> Đồ thị hàm số có hai đường TCN y = 1 và y = -1.

Giải phương trình $\sqrt{{\mathrm{x}}^2-4}=0\iff \mathrm{x}=\pm 2$. Em thấy x = -2 và x = 2 khác nghiệm tử x = 0 do vậy x = -2 và x = 2 là hai đường TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

• Đáp án B sai vì: đồ thị hàm số chỉ có một đường TCN $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$, một đường TCĐ $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$.
• Đáp án C đúng vì: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}}}{1-\frac{3}{\mathrm{x}}+\frac{2}{{\mathrm{x}}^2}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2}$ không tồn tại

=> Đồ thị hàm số có một đường TCN là y = 0.

Giải phương trình ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2=0\iff \mathrm{x}=1$ và x = 2. Em thấy với x = 1 và x = 2 thì $\sqrt{\mathrm{x}}\ne 0$ do vậy đồ thị hàm số có hai đường TCĐ là x = 1 và x = 2.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

• Đáp án D sai vì: $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}=\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}}}{1-\frac{2}{\mathrm{x}}-\frac{3}{{\mathrm{x}}^2}}=0;\underset{\mathrm{x}\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{\mathrm{x}-1}}{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3}$ không tồn tại.

=> Đồ thị hàm số có một đường TCN là y = 0

Giải phương trình ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3=0\iff \mathrm{x}=-1$ và x = 3. Em thấy với x = -1 thì $\sqrt{\mathrm{x}-1}$ không tồn tại và x = 3 thì $\sqrt{\mathrm{x}-1}\ne 0$ do vậy đồ thị hàm số có một đường TCĐ x = 3

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.