Phương trình: $\sqrt[3]{x-1}+m\sqrt{m+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}$ có nghiệm x khi:

Đáp án B

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{x+1}>0$ và đặt ẩn phụ $t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}$ .

- Từ điều kiện $x\ge 1$ ta tìm được điều kiện của t là $0\le t<1$.

- Từ phương trình ẩn t, rút $-m=f\left(t\right)$ và xét hàm $f\left(t\right)$ trên $\left[0;1\right)$ , từ đó suy ra điều kiện của

Cách giải:

Phương trình: $3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}$ (Điều kiện: $x\ge 1$)

$3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x-1}.\sqrt[4]{x+1}\left(*\right)$

Ta có với $x\ge 1$ Chia hai vế phương trình (*) cho  ta có: $\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+m=\frac{2\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\left(1\right)$

Đặt $t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\Rightarrow t^4=\frac{x-1}{x+1}$

Với $x\ge 1$ thì hàm số $0\le \frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}<1\Rightarrow 0\le t^4<1\iff 0\le t<1$

Phương trình (1) trở thành: $3t^2-2t+m=0\left(2\right)$

Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm: $0\le t<1$

Xét hàm $y=f\left(t\right)=3t^2-2t$ trên $\left[0;1\right)$ ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=6t-2=0\iff t=\frac{1}{3}\in \left[0;1\right)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình $3t^2-2t+m=0$ có nghiệm trong $\left[0;1\right)$ thì đường thẳng $y=-m$phải cắt đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=3t^2-2t$ tại ít nhất 1 điểm.

Do đó $-\frac{1}{3}\le -m<1\iff -1<m\le \frac{1}{3}$

Vậy $-1<m\le \frac{1}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.

Chú ý khi giải:

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3  