Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $AB=2\sqrt{3}$ và $AA\text{'}=2$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$ và $\left(BCMN\right)$.

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A'B'=>P là trọng tâm $\Delta A\text{'}B\text{'}B$ .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm $\Delta A\text{'}C\text{'}C$

$\Rightarrow PQ//B\text{'}C\text{'}$ Ta có $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)\cap \left(BCMN\right)=PQ$ .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có  $AB\text{'}=AC\text{'}\Rightarrow \Delta AB\text{'}C\text{'}$ cân tại $A\Rightarrow AH\perp BC\Rightarrow AI\perp PQ$ .

Lại có $IJ\perp PQ\Rightarrow$  Góc giữa $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$và  $\left(BCMN\right)$ là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

$\begin{array}{l}AC\text{'}=\sqrt{A{C}^2+CC{\text{'}}^2}\\ =\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow AH=\sqrt{AC{\text{'}}^2-HC{\text{'}}^2}\\ =\sqrt{4^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{13}\\ \Rightarrow AI=\frac{2}{3}AH=\frac{2\sqrt{13}}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}BN=\sqrt{BB{\text{'}}^2+B\text{'}{N}^2}\\ =\sqrt{2^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{7}\end{array}$

$\begin{array}{l}KJ=NE=\sqrt{B{N}^2-E{B}^2}\\ =\sqrt{7-\frac{3}{4}}=\frac{5}{2}\\ \Rightarrow IJ=\frac{2}{3}KJ=\frac{5}{3}\end{array}$

Lại có $AJ=\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=3$

Trong $\Delta AIJ$  :

$\begin{array}{l}\cos \widehat{AIJ}=\frac{I{J}^2+I{A}^2-A{J}^2}{2.IJ.IA}\\ =\frac{\frac{25}{9}+\frac{4.13}{9}-9}{2.\frac{5}{3}.\frac{2\sqrt{13}}{3}}=\frac{-\sqrt{13}}{65}\end{array}$ .

 Cosin của góc giữa $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$  và $\left(BCMN\right)$  là $\frac{\sqrt{13}}{65}$

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt $M=\left(0;0;0\right),B\text{'}\left(3;0;0\right),$$C\text{'}\left(0;\sqrt{3};0\right),T\left(0;0;2\right)$

$\Rightarrow A\left(0;-\sqrt{3};2\right),B\left(3;0;2\right),$$C\left(0;\sqrt{3};2\right)$$\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left(3;0;2\right),\overrightarrow{MC}=\left(0;\sqrt{3};2\right)$

 $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}\right]=\left(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3}\right)$là một vecto pháp tuyến của .

Lại có  $\overrightarrow{AB\text{'}}=\left(3;\sqrt{3};-2\right),\overrightarrow{AC\text{'}}=\left(0;2\sqrt{3};-2\right)$

 $\Rightarrow \overrightarrow{n\text{'}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\text{'}\right]=\left(2\sqrt{3};6;6\sqrt{3}\right)$là một vecto pháp tuyến của $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$ .

Gọi $\alpha$  là góc giữa $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$  và $\left(MNBC\right)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha =\left|\cos \left(\widehat{\overrightarrow{n};\overrightarrow{n\text{'}}}\right)\right|\\ =\frac{\left|-2\sqrt{3}.2\sqrt{3}+\left(-6\right).6+3\sqrt{3}.6\sqrt{3}\right|}{\sqrt{{\left(-2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-6\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+6^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2}}\\ =\frac{\sqrt{13}}{65}\end{array}$