Câu hỏi:

15/08/2020 303

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $A B = 2 \sqrt{3}$ và $A A' = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B' C')$ và $(B C M N)$ .

A. $\frac{\sqrt{13}}{65}$

B. $\frac{- \sqrt{13}}{65}$

C. $\frac{\sqrt{13}}{130}$

D. $\frac{- \sqrt{13}}{130}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của BN và A'B'=>P là trọng tâm $Δ A' B' B$ .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm $Δ A' C' C$

$\Rightarrow P Q / / B' C'$ Ta có $(A B' C') \cap (B C M N) = P Q$ .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có $A B' = A C' \Rightarrow Δ A B' C'$ cân tại $A \Rightarrow A H ⊥ B C \Rightarrow A I ⊥ P Q$ .

Lại có $I J ⊥ P Q \Rightarrow$ Góc giữa $(A B' C')$ và $(B C M N)$ là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

$\begin{array}{l} A C' = \sqrt{A C^{2} + C C'^{2}} \\ = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H = \sqrt{A C'^{2} - H C'^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{13} \\ \Rightarrow A I = \frac{2}{3} A H = \frac{2 \sqrt{13}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} B N = \sqrt{B B'^{2} + B' N^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} K J = N E = \sqrt{B N^{2} - E B^{2}} \\ = \sqrt{7 - \frac{3}{4}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow I J = \frac{2}{3} K J = \frac{5}{3} \end{array}$

Lại có $A J = \frac{2 \sqrt{3} . \sqrt{3}}{2} = 3$

Trong $Δ A I J$ :

$\begin{array}{l} \cos \hat{A I J} = \frac{I J^{2} + I A^{2} - A J^{2}}{2. I J . I A} \\ = \frac{\frac{25}{9} + \frac{4.13}{9} - 9}{2. \frac{5}{3} . \frac{2 \sqrt{13}}{3}} = \frac{- \sqrt{13}}{65} \end{array}$ .

Cosin của góc giữa $(A B' C')$ và $(B C M N)$ là $\frac{\sqrt{13}}{65}$

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt $M = (0; 0; 0), B' (3; 0; 0),$ $C' (0; \sqrt{3}; 0), T (0; 0; 2)$

$\Rightarrow A (0; - \sqrt{3}; 2), B (3; 0; 2),$ $C (0; \sqrt{3}; 2)$ $\Rightarrow \vec{M B} = (3; 0; 2), \vec{M C} = (0; \sqrt{3}; 2)$

$\vec{n} = [\vec{M B}, \vec{M C}] = (2 \sqrt{3}; 6; 6 \sqrt{3})$ là một vecto pháp tuyến của .

Lại có $\vec{A B'} = (3; \sqrt{3}; - 2), \vec{A C'} = (0; 2 \sqrt{3}; - 2)$

$\Rightarrow \vec{n'} = [\vec{A B}, \vec{A C}'] = (2 \sqrt{3}; 6; 6 \sqrt{3})$ là một vecto pháp tuyến của $(A B' C')$ .

Gọi $α$ là góc giữa $(A B' C')$ và $(M N B C)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos α = |\cos (\hat{\vec{n}; \vec{n'}})| \\ = \frac{|- 2 \sqrt{3} .2 \sqrt{3} + (- 6) .6 + 3 \sqrt{3} .6 \sqrt{3}|}{\sqrt{{(- 2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 6^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{13}}{65} \end{array}$

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

A. $\frac{47}{256}$

B. $\frac{67}{256}$

C. $\frac{55}{256}$

D. $\frac{23}{128}$

Lời giải

Đáp án A.

Đặt $Ω$ là không gian mẫu. Ta có $n (Ω) = 2^{8} = 256$ .

Gọi A là biến cố “Không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy”.

- TH1: Không có ai tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

- TH2: Chỉ có 1 người tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 8 khả năng xảy ra.

- TH3: Có 2 người tung được mặt ngửa nhưng không ngồi cạnh nhau: Có $\frac{8.5}{2} = 20$ khả năng xảy ra (do mỗi người trong vòng tròn thì có 5 người không ngồi cạnh).

- TH4: Có 3 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 3 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có $C_{8}^{3} - 8 - 8.4 = 16$ khả năng xảy ra.

Thật vậy:

+ Có $C_{8}^{3}$ cách chọn 3 người trong số 8 người.

+ Có 8 khả năng cả ba người này ngồi cạnh nhau.

+ Nếu chỉ có 2 người ngồi cạnh nhau. Có 8 cách chọn ra một người, với mỗi cách chọn ra một người có 4 cách chọn ra hai người ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh người đầu tiên (độc giả vẽ hình để rõ hơn). Vậy có 8.4 khả năng.

- TH5: Có 4 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 4 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có 2 khả năng xảy ra.

Suy ra

$\begin{array}{l} n (A) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47 \\ \Rightarrow P (A) = \frac{47}{256} \end{array}$

Câu 2

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

A. 40,8 cm

B. 38,4 cm

C. 36 cm

D. 51,2 cm

Lời giải

Đáp án C.

Mực nước trong bồn sau khi bơm được 56 giây là: $\int_{0}^{56} h' (t) d t = \int_{0}^{56} \frac{1}{5} . \sqrt[d t]{t + 8} = 36$ (cm)

Câu 3

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

A. $n = 4$

B. $n = 2$

C. $n = 3$

D. $n = 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

A. $r = \sqrt[3]{5 π} (m)$

B. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} (m)$

D. $r = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} (m)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

A. V=513 $c m^{3}$

B. V=999 $c m^{3}$

C. V=1242 $c m^{3}$

D. V=1539 $c m^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

A. $d = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

A. 702

B. 351

C. 30

D. 15

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $A B = 2 \sqrt{3}$ và $A A' = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B' C')$ và $(B C M N)$ .

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.