Câu hỏi:

15/08/2020 166

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $A B = 2 \sqrt{3}$ và $A A' = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B' C')$ và $(B C M N)$ .

A. $\frac{\sqrt{13}}{65}$

B. $\frac{- \sqrt{13}}{65}$

C. $\frac{\sqrt{13}}{130}$

D. $\frac{- \sqrt{13}}{130}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của BN và A'B'=>P là trọng tâm $Δ A' B' B$ .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm $Δ A' C' C$

$\Rightarrow P Q / / B' C'$ Ta có $(A B' C') \cap (B C M N) = P Q$ .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có $A B' = A C' \Rightarrow Δ A B' C'$ cân tại $A \Rightarrow A H ⊥ B C \Rightarrow A I ⊥ P Q$ .

Lại có $I J ⊥ P Q \Rightarrow$ Góc giữa $(A B' C')$ và $(B C M N)$ là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

$\begin{array}{l} A C' = \sqrt{A C^{2} + C C'^{2}} \\ = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 2^{2}} = 4 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A H = \sqrt{A C'^{2} - H C'^{2}} \\ = \sqrt{4^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{13} \\ \Rightarrow A I = \frac{2}{3} A H = \frac{2 \sqrt{13}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} B N = \sqrt{B B'^{2} + B' N^{2}} \\ = \sqrt{2^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{7} \end{array}$

$\begin{array}{l} K J = N E = \sqrt{B N^{2} - E B^{2}} \\ = \sqrt{7 - \frac{3}{4}} = \frac{5}{2} \\ \Rightarrow I J = \frac{2}{3} K J = \frac{5}{3} \end{array}$

Lại có $A J = \frac{2 \sqrt{3} . \sqrt{3}}{2} = 3$

Trong $Δ A I J$ :

$\begin{array}{l} \cos \hat{A I J} = \frac{I J^{2} + I A^{2} - A J^{2}}{2. I J . I A} \\ = \frac{\frac{25}{9} + \frac{4.13}{9} - 9}{2. \frac{5}{3} . \frac{2 \sqrt{13}}{3}} = \frac{- \sqrt{13}}{65} \end{array}$ .

Cosin của góc giữa $(A B' C')$ và $(B C M N)$ là $\frac{\sqrt{13}}{65}$

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt $M = (0; 0; 0), B' (3; 0; 0),$ $C' (0; \sqrt{3}; 0), T (0; 0; 2)$

$\Rightarrow A (0; - \sqrt{3}; 2), B (3; 0; 2),$ $C (0; \sqrt{3}; 2)$ $\Rightarrow \vec{M B} = (3; 0; 2), \vec{M C} = (0; \sqrt{3}; 2)$

$\vec{n} = [\vec{M B}, \vec{M C}] = (2 \sqrt{3}; 6; 6 \sqrt{3})$ là một vecto pháp tuyến của .

Lại có $\vec{A B'} = (3; \sqrt{3}; - 2), \vec{A C'} = (0; 2 \sqrt{3}; - 2)$

$\Rightarrow \vec{n'} = [\vec{A B}, \vec{A C}'] = (2 \sqrt{3}; 6; 6 \sqrt{3})$ là một vecto pháp tuyến của $(A B' C')$ .

Gọi $α$ là góc giữa $(A B' C')$ và $(M N B C)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos α = |\cos (\hat{\vec{n}; \vec{n'}})| \\ = \frac{|- 2 \sqrt{3} .2 \sqrt{3} + (- 6) .6 + 3 \sqrt{3} .6 \sqrt{3}|}{\sqrt{{(- 2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 6)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}} . \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + 6^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{13}}{65} \end{array}$

Bình luận

Câu 1:

Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

A. $\frac{47}{256}$

B. $\frac{67}{256}$

C. $\frac{55}{256}$

D. $\frac{23}{128}$

Xem đáp án » 08/11/2021 36,833

Câu 2:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

A. $n = 4$

B. $n = 2$

C. $n = 3$

D. $n = 1$

Xem đáp án » 15/08/2020 3,090

Câu 3:

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

A. 40,8 cm

B. 38,4 cm

C. 36 cm

D. 51,2 cm

Xem đáp án » 15/08/2020 2,335

Câu 4:

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

A. V=513 $c m^{3}$

B. V=999 $c m^{3}$

C. V=1242 $c m^{3}$

D. V=1539 $c m^{3}$

Xem đáp án » 15/08/2020 1,620

Câu 5:

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

A. $r = \sqrt[3]{5 π} (m)$

B. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} (m)$

D. $r = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} (m)$

Xem đáp án » 15/08/2020 1,100

Câu 6:

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

A. 702

B. 351

C. 30

D. 15

Xem đáp án » 15/08/2020 1,053

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

A. $d = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án » 15/08/2020 802

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $A B = 2 \sqrt{3}$ và $A A' = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B' C')$ và $(B C M N)$ .

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB=23 và AA'=2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB'C' và BCMN.

Bình luận

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2−xx2−4x+3. Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng h't=15t+83 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có $A B = 2 \sqrt{3}$ và $A A' = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A B' C')$ và $(B C M N)$ .

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.