Cho x; y; z; t ∈14;1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P:=logxy-14+logyz-14+logzt-14+logtx-14 A. 4 B. 8 C. 15 D. 64

Dễ dàng có được x2≥x-14; y2≥y-14; z2≥z-14; t2≥t-14 (1)Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x = y = z = t = 12Vì x; y; z; t ∈14;1 nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta có:logxy2≤logxy-14; logyz2≤logyz-14; logzt2≤logzt-14; logtx2≤logtx-14 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:logxy-14+logyz-14+logzt-14+logtz-14≥2logxy+logyz+logzt+logtx 2Dễ thấy logxy; logyz; logzt; logtx luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:logxylogyzlogztlogtx≥4logxylogyzlogztlogtx4Mà logxylogyzlogztlogtx=logxylogxzlogxtlogxylogxzlogtx=1Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.Đáp án B

Câu hỏi:

16/08/2020 496

Cho x; y; z; t $\in (\frac{1}{4}; 1)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P : = \log_{x} (y - \frac{1}{4}) + \log_{y} (z - \frac{1}{4}) + \log_{z} (t - \frac{1}{4}) + \log_{t} (x - \frac{1}{4})$

A. 4

B. 8

C. 15

D. 64

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Dễ dàng có được $x^{2} \geq x - \frac{1}{4}$ ; $y^{2} \geq y - \frac{1}{4}$ ; $z^{2} \geq z - \frac{1}{4}$ ; $t^{2} \geq t - \frac{1}{4}$ (1)

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x = y = z = t = $\frac{1}{2}$

Vì x; y; z; t $\in (\frac{1}{4}; 1)$ nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta có:

$\log_{x} (y^{2}) \leq \log_{x} (y - \frac{1}{4})$ ; $\log_{y} (z^{2}) \leq \log_{y} (z - \frac{1}{4})$ ; $\log_{z} (t^{2}) \leq \log_{z} (t - \frac{1}{4})$ ; $\log_{t} (x^{2}) \leq \log_{t} (x - \frac{1}{4})$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:

$\log_{x} (y - \frac{1}{4}) + \log_{y} (z - \frac{1}{4}) + \log_{z} (t - \frac{1}{4}) + \log_{t} (z - \frac{1}{4}) \geq 2 (\log_{x} (y) + \log_{y} (z)) + (\log_{z} (t) + \log_{t} (x)) (2)$

Dễ thấy $\log_{x} (y)$ ; $\log_{y} (z)$ ; $\log_{z} (t)$ ; $\log_{t} (x)$ luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

$\log_{x} (y) \log_{y} (z) \log_{z} (t) \log_{t} (x) \geq 4 \sqrt[4]{\log_{x} (y) \log_{y} (z) \log_{z} (t) \log_{t} (x)}$

Mà

$\log_{x} (y) \log_{y} (z) \log_{z} (t) \log_{t} (x) = \log_{x} (y) \frac{\log_{x} (z) \log_{x} (t)}{\log_{x} (y) \log_{x} (z)} \log_{t} (x) = 1$

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.

Đáp án B

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm điều kiện của a,b để hàm số
$y = {(x + a)}^{3} + {(x + b)}^{3} - x^{3}$ có cực trị

A. $a b \geq 0$

B. $\{\begin{cases} a \geq 0 \\ b \geq 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} a > 0 \\ b > 0 \end{cases}$

D. ab > 0

Lời giải

· Tập xác định: D = R

$y' = 3 {(x + a)}^{2} + 3 {(x + b)}^{2} - 3 x^{2} = 3 x^{2} + 6 (a + b) x + 3 (a^{2} + b^{2})$

· Hàm số có cực trị nên y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow ∆' = 9 {(a + b)}^{2} - 3.3 (a^{2} + b^{2}) > 0 \Leftrightarrow a b > 0$

Đáp án D

Câu 2

Cho góc a thỏa mãn $π < a < \frac{3 π}{2}$ và sina - 2cosa = 1. Tính A = 2tana- cosa

A. 6

B. $\frac{1}{6}$

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Vì $π < a < \frac{3 π}{2}$ nên sina < 0; cosa < 0. Ta có

$\{\begin{cases} \sin (α) - 2 \cos (α) = 1 \\ \sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1 \end{cases} \Rightarrow {(1 + 2 \cos (α))}^{2} + \cos^{2} (α) = 1 \Rightarrow 5 \cos^{2} (α) + 4 \cos (α) = 0 \Rightarrow \cos (α) = - \frac{4}{5}$

Suy ra $α = - \sqrt{1 - \cos^{2} (α)} = - \frac{3}{5}$ ; $\tan (α) = \frac{3}{4}$ ; $c o t (α) = \frac{4}{3}$ . Vậy A = 2tana - cota = $2 . \frac{3}{4} - \frac{4}{3} = \frac{1}{6}$

Đáp án B

Câu 3

Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

A. $\frac{2}{11}$

B. $\frac{3}{11}$

C. $\frac{4}{11}$

D. $\frac{2}{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn $[- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}]$ . Tính Mm

A. $6 \sqrt{3}$

B. 8

C. $12 \sqrt{3}$

D. $3 \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

A. $y = 2 x^{2} - 6 x + 4$

B. $y = 2 x^{2} + 6 x + 4$

C. $y = 2 x^{2} - 6 x - 4$

D. $y = - 2 x^{2} + 6 x + 4$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho $n \in ℕ; n > 3$ thỏa mãn phương trình
$\log_{4} (n - 3) + \log_{4} (n + 9) = 3$
Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z = {(1 + i)}^{n}$

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm m để phương trình
$3 \log_{27} (2 x^{2} - x + 2 m - 4 m^{2}) + \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} (x^{2} + m x - 2 m^{2}) = 0$
có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} > 1$

A. $\{\begin{cases} - 1 < m \leq 0 \\ \frac{2}{5} < m < \frac{1}{2} \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} - 1 \leq m < 0 \\ \frac{2}{5} < m < \frac{1}{2} \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} - 1 < m < 0 \\ \frac{2}{5} < m < \frac{1}{2} \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} - 1 < m < 0 \\ \frac{2}{5} \leq m < \frac{1}{2} \end{cases}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho x; y; z; t ∈14;1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P:=logxy-14+logyz-14+logzt-14+logtx-14

Tìm điều kiện của a,b để hàm số y=x+a3+x+b3-x3 có cực trị

Cho góc a thỏa mãn π<a<3π2 và sina - 2cosa = 1. Tính A = 2tana- cosa

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn -π3;π3. Tính Mm

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị C:y=x3-3x2+4 và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

Cho n∈ℕ;n>3 thỏa mãn phương trình log4n-3+log4n+9=3Tổng phần thực và phần ảo của số phức z=1+in

Tìm m để phương trình3log272x2-x+2m-4m2+log13x2+mx-2m2=0có hai nghiệm x1;x2 sao cho x12+x22>1

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x; y; z; t $\in (\frac{1}{4}; 1)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P : = \log_{x} (y - \frac{1}{4}) + \log_{y} (z - \frac{1}{4}) + \log_{z} (t - \frac{1}{4}) + \log_{t} (x - \frac{1}{4})$

Tìm điều kiện của a,b để hàm số
$y = {(x + a)}^{3} + {(x + b)}^{3} - x^{3}$ có cực trị

Cho góc a thỏa mãn $π < a < \frac{3 π}{2}$ và sina - 2cosa = 1. Tính A = 2tana- cosa

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 5cosx - cos5x trên đoạn $[- \frac{π}{3}; \frac{π}{3}]$ . Tính Mm

Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

Cho $n \in ℕ; n > 3$ thỏa mãn phương trình
$\log_{4} (n - 3) + \log_{4} (n + 9) = 3$
Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z = {(1 + i)}^{n}$

Tìm m để phương trình
$3 \log_{27} (2 x^{2} - x + 2 m - 4 m^{2}) + \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} (x^{2} + m x - 2 m^{2}) = 0$
có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} > 1$