Câu hỏi:

18/08/2020 275

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có $A (x_{0}; 0; 0)$ , $B (- x_{0}; 0; 0)$ , $C (0; 1; 0)$ và $B' (- x_{0}; 0; y_{0})$ , trong đó $x_{0}; y_{0}$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_{0} + y_{0} = 4$ . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

A. $R = \sqrt{17}$

B. $R = \frac{29}{4}$

C. $R = 17$

D. $R = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D.

Gọi O là trung điểm của AB, suy ra $O (0; 0; 0)$ .

Ta có $\vec{A B} = (- 2 x_{0}; 0; 0), \vec{O C} = (0; 1; 0)$ $\Rightarrow \vec{A B} . \vec{O C} = 0 \Rightarrow A B ⊥ O C$ .

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên. Với $A (x_{0}; 0; 0), B (- x_{0}; 0; 0), C (0; 1; 0)$ , $B' (- x_{0}; 0; 4 - x_{0})$ , $A' (x_{0}; 0; 4 - x_{0})$ , $C' (0; 1; 4 - x_{0})$ do $x_{0} + y_{0} = 4$ và $0 < x_{0}, y_{0} < 4$ .

Có $\vec{A C'} = (- x_{0}; 1; 4 - x_{0}), \vec{B' C} = (x_{0}; 1; x_{0} - 4)$ $\Rightarrow [\vec{A C'}, \vec{B' C}] = (2 x_{0} - 8; 0; - 2 x_{0})$

$\vec{A C} = (- x_{0}; 1; 0) \Rightarrow [\vec{A C'}, \vec{B' C}] . \vec{A C} = - x_{0} (2 x_{0} - 8) = - 2 x_{0} (x_{0} - 4)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d (A C'; B' C) \\ = \frac{|[\vec{A C'}, \vec{B' C}] . \vec{A C}|}{|[\vec{A C'}, \vec{B' C}]|} \\ = \frac{|2 x_{0} (x_{0} - 4)|}{\sqrt{4 {(4 - x_{0})}^{2} + 4 x_{0}^{2}}} \\ = \frac{x_{0} (4 - x_{0})}{\sqrt{{(4 - x_{0})}^{2} + x_{0}^{2}}} \end{array}$

do $x_{0} \in (0; 4)$ .

Với $0 < x_{0} < 4$ , ta có ${(4 - x_{0})}^{2} + x_{0}^{2} \overset{A M - G M}{\geq}$ $2 \sqrt{{(4 - x_{0})}^{2} x_{0}^{2}} = 2 x_{0} (4 - x_{0})$ .

Như vậy $d (A C'; B' C) = \frac{x_{0} (4 - x_{0})}{\sqrt{{(4 - x_{0})}^{2} + x_{0}^{2}}}$ $\leq \frac{x_{0} (4 - x_{0})}{2 x_{0} (4 - x_{0})} = \frac{1}{2}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $x_{0} = 4 - x_{0} \Leftrightarrow x_{0} = 2 = y_{0}$ .

Khi đó $A (2; 0; 0), B (- 2; 0; 0),$ $C (0; 1; 0), B' (- 2; 0; 2)$ . Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là .

Ta có hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2 a .2 - 2 b .0 - 2 c .0 + d = 0 \\ {(- 2)}^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2 a (- 2) - 2 b .0 - 2 c .0 + d = 0 \\ 0^{2} + 1^{2} + 0^{2} - 2 a .0 - 2 b .1 - 2 c .0 + d = 0 \\ {(- 2)}^{2} + 0^{2} + 2^{2} - 2 a (- 2) - 2 b .0 - 2 c .2 + d = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 a - d = 4 \\ 4 a + d = - 4 \\ 2 b - d = 1 \\ 4 a - 4 c + d = - 8 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ d = - 4 \end{cases} \end{array}$

Vậy mặt cầu (S) có tâm $I (0; - \frac{3}{2}; 1)$ và bán kính

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

A. $\frac{47}{256}$

B. $\frac{67}{256}$

C. $\frac{55}{256}$

D. $\frac{23}{128}$

Xem đáp án » 08/11/2021 19,299

Câu 2:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

A. $n = 4$

B. $n = 2$

C. $n = 3$

D. $n = 1$

Xem đáp án » 15/08/2020 2,955

Câu 3:

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

A. 40,8 cm

B. 38,4 cm

C. 36 cm

D. 51,2 cm

Xem đáp án » 15/08/2020 1,625

Câu 4:

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

A. V=513 $c m^{3}$

B. V=999 $c m^{3}$

C. V=1242 $c m^{3}$

D. V=1539 $c m^{3}$

Xem đáp án » 15/08/2020 1,553

Câu 5:

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

A. 702

B. 351

C. 30

D. 15

Xem đáp án » 15/08/2020 1,004

Câu 6:

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

A. $r = \sqrt[3]{5 π} (m)$

B. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} (m)$

D. $r = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} (m)$

Xem đáp án » 15/08/2020 694

Câu 7:

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

A. $S = π a^{2}$

B. $S = 2 π a^{2}$

C. $S = \frac{1}{2} π a^{2}$

D. $S = \frac{3}{4} π a^{2}$

Xem đáp án » 15/08/2020 546

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2−xx2−4x+3. Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng h't=15t+83 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.