Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-9\right).$Hỏi đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(C\right)$ và $\left(d\right)$ là

$\frac{x}{x-1}=m-x\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x^2-mx+m=0\left(*\right)\end{array}\right..$

Để $\left(C\right)$cắt $\left(d\right)$ tại hai điểm phân biệt $\iff \left(*\right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1\iff \left[\begin{array}{l}m>4\\ m<0\end{array}\right..$ 

Khi đó, gọi điểm $A\left(x_1;m-x_1\right)$ và $B\left(x_2;m-x_2\right)$ là giao điểm của đồ thị $\left(C\right)$ và $\left(d\right)$.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}OA=\sqrt{2{x_1}^2-2m.x_1+m^2}=\sqrt{2\left({x_1}^2-m{x}_1+m\right)+m^2-2m}=\sqrt{m^2-2m}\\ OB=\sqrt{2{x_2}^2-2m.x_2+m^2}=\sqrt{2\left({x_2}^2-m{x}_2+m\right)+m^2-2m}=\sqrt{m^2-2m}\end{array}\right.$ 

Khoảng cách từ O đến AB bằng

$h=d\left(O;\left(d\right)\right)=\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.h.AB=\frac{\left|m\right|}{2\sqrt{2}}.AB$ 

Ta có

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{abc}{4R}\iff R=\frac{abc}{4.S_{\Delta ABC}}=\frac{OA.OB.AB}{2.h.AB}=\frac{OA.OB}{2.h} \\ \iff 4\sqrt{2}.\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}=OA.OB\iff O{A}^2.O{B}^2=16m^2 \end{gathered}$$

Khi đó ${\left(m^2-2m\right)}^2=16m^2\iff \left[\begin{array}{l}{m}^2-2m=4m\\ m^2-2m=-4m\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\\ m=6\end{array}\right..$ 

Kết hợp với điều kiện $\left[\begin{array}{l}m>4\\ m<0\end{array}\right.,$ ta được $\left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=6\end{array}\right.$ là giá trị cần tìm

Đáp án A

Gọi $A\left(a;a^3-3a^2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ 

PTTT tại A là: $y=\left(3a^2-6a\right)\left(x-a\right)+a^3-3a^2$ 

Tiếp tuyến đi qua M nên  

$m=\left(3a^2-6a\right)\left(2-a\right)+a^3-3a^2=-2a^3+9a^2-12a\left(*\right)$

Để kẻ được 3 tiếp tuyến thì PT (*) có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số

$$\begin{gathered} f\left(a\right)=-2a^3+9a^2-12a\Rightarrow f\text{'}\left(a\right) \\ =-6a^2+18a-12=0\iff \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=1\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Khi đó (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in \left(f\left(1\right);f\left(2\right)\right)=\left(-5;-4\right).$