Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2 A. 196 B. 1 C. 169 D. 196π

Đặt Ta có t=2tan1-tan2x⇒2t=1tanx-tanx⇒4t2=1tan2x+tan2x-2Từ đó 4t2+22=1tan2x+tan2x2⇒1tan4x+tan4x=16t4+16t2+2Lúc đó ft=16t4+16t2+2 với t = tan(2x)Khi x∈0;π4 thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: ft=16t4+16t2+2Bắt đầu từ đây ta có: fsinx+cosx=16sin4x+16sin2x+2+16cos4x+16cos2x+2=161sin4x+1cos4x+161sin2x+1cos2x+4Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:1sin4x+1cos4x≥2sin2xcos2x=8sin22x≥8∀x∈0;π21sin2x+1cos2x≥2sinxcosx=4sin2x≥4∀x∈0;π2Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)≥196Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=π4Đáp án A

Câu hỏi:

23/08/2020 1,404

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

A. 196

Đáp án chính xác

B. 1

C. 169

D. 196 $π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

Ta có

$t = \frac{2 \tan}{1 - \tan^{2} (x)} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{\tan (x)} - \tan (x) \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} = \frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2$

Từ đó

${(\frac{4}{t^{2}} + 2)}^{2} = {(\frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x))}^{2} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{4} (x)} + \tan^{4} (x) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Lúc đó $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$ với t = tan(2x)

Khi $x \in (0; \frac{π}{4})$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Bắt đầu từ đây ta có:

$f (\sin (x)) + (\cos (x)) = \frac{16}{\sin^{4} (x)} + \frac{16}{\sin^{2} (x)} + 2 + \frac{16}{\cos^{4} (x)} + \frac{16}{\cos^{2} (x)} + 2 = 16 (\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)}) + 16 (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)} \geq \frac{2}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} = \frac{8}{\sin^{2} (2 x)} \geq 8 \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \geq \frac{2}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{4}{\sin (2 x)} \geq 4 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx) $\geq 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{π}{4}$

Đáp án A

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

A. 250

B. 91

C. $\frac{250}{91}$

D. $\frac{250}{90}$

Xem đáp án » 23/08/2020 4,729

Câu 2:

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

A. $\log (\frac{a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

B. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

C. $\log (\frac{a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

D. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

Xem đáp án » 24/08/2020 4,472

Câu 3:

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

A. a > 3

B. a > -3

C. a < 3

D. a < -3

Xem đáp án » 24/08/2020 1,794

Câu 4:

Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là $C (x) = 2 x + 4 + \frac{2}{x - 6} (x > 6)$ trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Xem đáp án » 24/08/2020 1,617

Câu 5:

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

A. m = 0

B. m = -1

C. m = $\pm 1$

D. m = $\pm \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 25/08/2020 1,522

Câu 6:

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - (a x + b)]$
Tính ${(a - 2 b)}^{2018} (3 a^{2} + \sqrt[3]{a b} + b \sqrt[3]{a})$

A. 0

B. 1

C. $2^{2018}$

D. -1

Xem đáp án » 23/08/2020 899

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn 9a2+b=10ab. Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số y=x3+ax2-4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: z=i-m1-mm-2i. Tìm m để z.z=12

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện limn→∞4x2+4x+3-ax+bTính a-2b20183a2+ab3+ba3

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - (a x + b)]$
Tính ${(a - 2 b)}^{2018} (3 a^{2} + \sqrt[3]{a b} + b \sqrt[3]{a})$