Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2 A. 196 B. 1 C. 169 D. 196π

Đặt Ta có t=2tan1-tan2x⇒2t=1tanx-tanx⇒4t2=1tan2x+tan2x-2Từ đó 4t2+22=1tan2x+tan2x2⇒1tan4x+tan4x=16t4+16t2+2Lúc đó ft=16t4+16t2+2 với t = tan(2x)Khi x∈0;π4 thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: ft=16t4+16t2+2Bắt đầu từ đây ta có: fsinx+cosx=16sin4x+16sin2x+2+16cos4x+16cos2x+2=161sin4x+1cos4x+161sin2x+1cos2x+4Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:1sin4x+1cos4x≥2sin2xcos2x=8sin22x≥8∀x∈0;π21sin2x+1cos2x≥2sinxcosx=4sin2x≥4∀x∈0;π2Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)≥196Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=π4Đáp án A

Câu hỏi:

23/08/2020 1,678

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

A. 196

Đáp án chính xác

B. 1

C. 169

D. 196 $π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

Ta có

$t = \frac{2 \tan}{1 - \tan^{2} (x)} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{\tan (x)} - \tan (x) \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} = \frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2$

Từ đó

${(\frac{4}{t^{2}} + 2)}^{2} = {(\frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x))}^{2} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{4} (x)} + \tan^{4} (x) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Lúc đó $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$ với t = tan(2x)

Khi $x \in (0; \frac{π}{4})$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Bắt đầu từ đây ta có:

$f (\sin (x)) + (\cos (x)) = \frac{16}{\sin^{4} (x)} + \frac{16}{\sin^{2} (x)} + 2 + \frac{16}{\cos^{4} (x)} + \frac{16}{\cos^{2} (x)} + 2 = 16 (\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)}) + 16 (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)} \geq \frac{2}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} = \frac{8}{\sin^{2} (2 x)} \geq 8 \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \geq \frac{2}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{4}{\sin (2 x)} \geq 4 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx) $\geq 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{π}{4}$

Đáp án A

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

A. 250

B. 91

C. $\frac{250}{91}$

D. $\frac{250}{90}$

Xem đáp án » 23/08/2020 5,386

Câu 2:

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

A. $\log (\frac{a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

B. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

C. $\log (\frac{a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

D. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

Xem đáp án » 24/08/2020 5,079

Câu 3:

Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là $C (x) = 2 x + 4 + \frac{2}{x - 6} (x > 6)$ trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Xem đáp án » 24/08/2020 4,128

Câu 4:

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

A. a > 3

B. a > -3

C. a < 3

D. a < -3

Xem đáp án » 25/08/2020 2,429

Câu 5:

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

A. m = 0

B. m = -1

C. m = $\pm 1$

D. m = $\pm \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 25/08/2020 1,827

Câu 6:

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - (a x + b)]$
Tính ${(a - 2 b)}^{2018} (3 a^{2} + \sqrt[3]{a b} + b \sqrt[3]{a})$

A. 0

B. 1

C. $2^{2018}$

D. -1

Xem đáp án » 23/08/2020 1,314

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Nhà sách VIETJACK:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - (a x + b)]$
Tính ${(a - 2 b)}^{2018} (3 a^{2} + \sqrt[3]{a b} + b \sqrt[3]{a})$

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2

Nhà sách VIETJACK:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn 9a2+b=10ab. Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số y=x3+ax2-4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: z=i-m1-mm-2i. Tìm m để z.z=12

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện limn→∞4x2+4x+3-ax+bTính a-2b20183a2+ab3+ba3

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện
$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - (a x + b)]$
Tính ${(a - 2 b)}^{2018} (3 a^{2} + \sqrt[3]{a b} + b \sqrt[3]{a})$