Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2 A. 196 B. 1 C. 169 D. 196π

Đặt Ta có t=2tan1-tan2x⇒2t=1tanx-tanx⇒4t2=1tan2x+tan2x-2Từ đó 4t2+22=1tan2x+tan2x2⇒1tan4x+tan4x=16t4+16t2+2Lúc đó ft=16t4+16t2+2 với t = tan(2x)Khi x∈0;π4 thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: ft=16t4+16t2+2Bắt đầu từ đây ta có: fsinx+cosx=16sin4x+16sin2x+2+16cos4x+16cos2x+2=161sin4x+1cos4x+161sin2x+1cos2x+4Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:1sin4x+1cos4x≥2sin2xcos2x=8sin22x≥8∀x∈0;π21sin2x+1cos2x≥2sinxcosx=4sin2x≥4∀x∈0;π2Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)≥196Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=π4Đáp án A

Câu hỏi:

23/08/2020 1,768

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

A. 196

B. 1

C. 169

D. 196 $π$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt

Ta có

$t = \frac{2 \tan}{1 - \tan^{2} (x)} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{\tan (x)} - \tan (x) \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} = \frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2$

Từ đó

${(\frac{4}{t^{2}} + 2)}^{2} = {(\frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x))}^{2} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{4} (x)} + \tan^{4} (x) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Lúc đó $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$ với t = tan(2x)

Khi $x \in (0; \frac{π}{4})$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Bắt đầu từ đây ta có:

$f (\sin (x)) + (\cos (x)) = \frac{16}{\sin^{4} (x)} + \frac{16}{\sin^{2} (x)} + 2 + \frac{16}{\cos^{4} (x)} + \frac{16}{\cos^{2} (x)} + 2 = 16 (\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)}) + 16 (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)} \geq \frac{2}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} = \frac{8}{\sin^{2} (2 x)} \geq 8 \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \geq \frac{2}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{4}{\sin (2 x)} \geq 4 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx) $\geq 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{π}{4}$

Đáp án A

Bình luận

Câu 1:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

A. 250

B. 91

C. $\frac{250}{91}$

D. $\frac{250}{90}$

Xem đáp án » 23/08/2020 6,051

Câu 2:

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

A. $\log (\frac{a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

B. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \frac{\log (a) + \log (b)}{2}$

C. $\log (\frac{a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

D. $\log (\frac{3 a + b}{4}) = \log (a) + \log (b)$

Xem đáp án » 24/08/2020 5,731

Câu 3:

Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là $C (x) = 2 x + 4 + \frac{2}{x - 6} (x > 6)$ trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7

Xem đáp án » 24/08/2020 4,610

Câu 4:

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

A. a > 3

B. a > -3

C. a < 3

D. a < -3

Xem đáp án » 25/08/2020 2,660

Câu 5:

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

A. m = 0

B. m = -1

C. m = $\pm 1$

D. m = $\pm \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 25/08/2020 1,880

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - m x - 2018$ . Tìm m để $f' (x) < 0 \forall x \in (0; 2)$

A. m < 4

B. m > 4

C. $m \leq 4$

D. $m \geq 4$

Xem đáp án » 23/08/2020 1,442

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - m x - 2018$ . Tìm m để $f' (x) < 0 \forall x \in (0; 2)$

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số f0;+π→ℝ thỏa mãn điều kiện ftan2x=tan4x+1tan4x; ∀x∈0;π4Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng 0;π2

Bình luận

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

Cho a,b > 0 thỏa mãn 9a2+b=10ab. Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số y=x3+ax2-4 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: z=i-m1-mm-2i. Tìm m để z.z=12

Cho hàm số fx=x3-2x2-mx-2018. Tìm m để f'x<0∀x∈0;2

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Cho a,b > 0 thỏa mãn $9 a^{2} + b = 10 a b$ . Hãy chọn đẳng thức đúng

Tìm a để đồ thị hàm số $y = x^{3} + a x^{2} - 4$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

Xét số phức: $z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}$ . Tìm m để $z . z = \frac{1}{2}$

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - m x - 2018$ . Tìm m để $f' (x) < 0 \forall x \in (0; 2)$