Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 8 )

Điều kiện $9x^2-16x-80\ge 0\iff x\ge 4$

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right) \\ =k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right) \\ \iff 3\mathrm{x}-\sqrt{9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80}=4\mathrm{k} \\ \iff \sqrt{9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80}=3\mathrm{x}-4\mathrm{k} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4\mathrm{k}}{3}\\ 9{\mathrm{x}}^2-16\mathrm{x}-80={\left(3\mathrm{x}-4\mathrm{k}\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge \frac{4\mathrm{k}}{3}\\ \mathrm{x}=\frac{2{\mathrm{k}}^2+10}{3\mathrm{k}-2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Yêu cầu bài toán tương đương với 

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge \frac{4k}{3}\\ x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge 4\\ \frac{2k^2+10}{3k-2}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\right.$

Ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge \frac{4k}{3}\\ x=\frac{2k^2+10}{3k-2}\ge 4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{-6k^2+8k+30}{3k-2}\ge 0\\ \frac{2k^2-12k+18}{3k-2}\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \frac{2}{3}<k\le 3 \end{gathered}$$

Vì $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ nên $k\in \left\{1;2;3\right\}$

Với k = 1 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=12\in Z$

Với k = 2 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=\frac{9}{2}\notin \frac{9}{2}$

Với k = 3 suy ra $\frac{2k^2+10}{3k-2}=4\in Z$

Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12

Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm

Đáp án C

Đặt

Ta có 

$$\begin{gathered} t=\frac{2\tan }{1-{\tan }^2\left(x\right)} \\ \Rightarrow \frac{2}{t}=\frac{1}{\tan \left(x\right)}-\tan \left(x\right) \\ \Rightarrow \frac{4}{t^2}=\frac{1}{{\tan }^2\left(x\right)}+{\tan }^2\left(x\right)-2 \end{gathered}$$

Từ đó 

$$\begin{gathered} {\left(\frac{4}{t^2}+2\right)}^2={\left(\frac{1}{{\tan }^2\left(x\right)}+{\tan }^2\left(x\right)\right)}^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{{\tan }^4\left(x\right)}+{\tan }^4\left(x\right) \\ =\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2 \end{gathered}$$

Lúc đó $f\left(t\right)=\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2$ với t = tan(2x)

Khi $x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f\left(t\right)=\frac{16}{t^4}+\frac{16}{t^2}+2$

Bắt đầu từ đây ta có: 

$$\begin{gathered} f\left(\sin \left(x\right)\right)+\left(\cos \left(x\right)\right) \\ =\frac{16}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{16}{{\sin }^2\left(x\right)}+2 \\ +\frac{16}{{\cos }^4\left(x\right)}+\frac{16}{{\cos }^2\left(x\right)}+2 \\ =16\left(\frac{1}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^4\left(x\right)}\right) \\ +16\left(\frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}\right)+4 \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\sin }^4\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^4\left(x\right)} \\ \ge \frac{2}{{\sin }^2\left(x\right){\cos }^2\left(x\right)} \\ =\frac{8}{{\sin }^2\left(2x\right)}\ge 8\forall x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \frac{1}{{\sin }^2\left(x\right)}+\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)} \\ \ge \frac{2}{\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)} \\ =\frac{4}{\sin \left(2x\right)}\ge 4\forall x\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \end{gathered}$$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx)$\ge 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Đáp án A

Do thi đấu vòng tròn 1lượt nên 2 đột bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là $C_{14}^2=91$

Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2 . 23 = 46

Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là

Vậy số điểm trung bình của 1 trận là $\frac{46+204}{91}$ = $\frac{250}{91}$(điểm)

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân từ 8 quả cân 

Gọi A là biến cố: “chọn được 3 quả cân có tổng khối lượng không quá 9kg”

Khi đó A = {(1;2;3); (1;2;4); ( 1;2;5); (1;2;6); (1;3;4); (1;3;5); (2;3;4)}

Suy ra n(A) = 7

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{7}{C_8^3}=\frac{1}{8}$

Đáp án D

Ta có 

$$\begin{gathered} \frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n\ge 3\\ \frac{2}{n\left(n-1\right)}\\ +\frac{7.3!}{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}=\frac{1}{n}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n\ge 3\\ n^2-5n-36=0\end{array}\right. \\ \iff n=9 \end{gathered}$$

Suy ra $a_8$ là hệ số của $x^8$ trong khai triển $8{\left(1-x\right)}^8+9{\left(1-x\right)}^9$

Vậy ta thu được $a_8=8.C_8^8+9.C_9^8=89$

Đáp án C

Đặt $u_n=\sqrt[3]{n^3+3n^2+n+1}$

Ta có 

$$\begin{gathered} \cos \left({\mathrm{\pi nu}}_{\mathrm{n}}\right) \\ =\cos \left[-{\mathrm{\pi nu}}_{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{n}+1\right)\mathrm{n\pi }\right] \\ =\mathrm{cos\pi }n\left(n+1-u_n\right) \\ =\cos \left[\mathrm{\pi n}\frac{{\left(\mathrm{n}+1\right)}^3-{{\mathrm{u}}^3}_{\mathrm{n}}}{{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2+\left(\mathrm{n}+1\right){\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}\right] \\ =\cos \left[\frac{2{\mathrm{\pi u}}^2}{{\left(\mathrm{n}+1\right)}^2+\left(\mathrm{n}+1\right){\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}+{{\mathrm{u}}^2}_{\mathrm{n}}}\right] \\ =\cos \left[\frac{2\mathrm{\pi }}{{\left(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{u_n}{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right] \end{gathered}$$

Suy ra 

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\cos \left({\mathrm{\pi nu}}_{\mathrm{n}}\right) \\ =\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Biến đổi tương tự, ta cũng tìm được 

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left({\mathrm{\pi nu}}_{\mathrm{n}}\right) \\ =-\sin \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Vậy

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim } \\ \left[\cos \left(\pi n\sqrt[3]{n^3+3n^2+n+1}\right)\right] \\ +\left[\sin \left(\mathrm{\pi n}\sqrt[3]{{\mathrm{n}}^3+3{\mathrm{n}}^2+\mathrm{n}+1}\right)\right] \\ =-\frac{1+\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$

Đáp án A

Phân tích

$$\begin{gathered} \sqrt{4x^2+4x+4}-\left(ax+b\right) \\ =\sqrt{4x^2+4x+1}-\left(2x+1\right) \\ +\left(2x+1\right)-\left(ax+b\right) \\ =\sqrt{4x^2+4x+1}-\left(2x+1\right) \\ +\left(2-a\right)x+1-b \end{gathered}$$

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left[\sqrt{4x^2+4x+3}-\left(2x+1\right)\right] \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{4x^2+4x+3}-\left(2x+1\right)} \end{gathered}$$

Khi đó 

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\left[\sqrt{4x^2+4x+3}-\left(ax+b\right)\right] \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\left[\left(2-a\right)x+1-b\right]=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2-a=0\\ 1-b=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra ${\left(a-2b\right)}^{2018}\left(3a^2+\sqrt[3]{ab}+b\sqrt[3]{a}\right)$=0

Đáp án A

Đây là một bài toán tương đối khó. Đầu tiên, chúng ta cần để ý đến những biến đổi sau đây:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+..+\frac{70}{x-70}-\frac{5}{4} \\ =\sum _{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}-\frac{5}{4} \\ =\frac{\sum _k{\displaystyle \underset{j\ne k}{\prod \left(x-j\right)}}}{\prod _{\left(x-j\right)}}-\frac{5}{4} \\ =\frac{4\sum _k\underset{j\ne k}{\prod \left(x-j\right)-5\prod _{\left(x-j\right)}}}{4\prod _{\left(x-j\right)}} \\ =\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \end{gathered}$$

với k;j = 1,70

Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghiệm $x\in \left\{1;2;..;70\right\}$

Vậy f liên tục trên $R,f\left(k\right),f\left(k+1\right)<0$ với $k=\overline{1,69}$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)<0;f\left(70\right)>0$ nên cũng có đủ 70 nghiệm xen kẽ là 1 < $x_1$ < 2 < $x_2$ < .. < $x_{69}$

Tổng độ dài các khoảng nghiệm của bất phương trình $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge 0$ là

$$\begin{gathered} L=\left(x_1-1\right)+\left(x_2-2\right) \\ +..+\left(x_{70}-70\right) \\ =\left(x_1+x_2+..+x_{70}\right) \\ -\left(1+2+..+70\right) \end{gathered}$$

Để ý đa thức f có bậc 70, hệ số cao nhất là -5 và hệ số của $x^{69}$ là: 9(1 + 2 + ..+ 70 )

Do đó

$$\begin{gathered} L=\frac{-9\left(1+2+..+70\right)}{-5} \\ -\left(1+2+..+70\right)=1988 \end{gathered}$$

Đáp án D