Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 8 )

Thi Online Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 8 )

8024 lượt thi
45 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình
$\sin [\frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80})]$ = 0

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Điều kiện $9 x^{2} - 16 x - 80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$

Phương trình đã cho tương đương với

$\frac{π}{4} (3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80}) = k π (k \in ℤ) \Leftrightarrow 3 x - \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 4 k \Leftrightarrow \sqrt{9 x^{2} - 16 x - 80} = 3 x - 4 k \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq \frac{4 k}{3} \\ 9 x^{2} - 16 x - 80 = {(3 x - 4 k)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq \frac{4 k}{3} \\ x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \end{cases}$

Yêu cầu bài toán tương đương với

$\{\begin{cases} \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \geq \frac{4 k}{3} \\ x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \geq 4 \\ \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \in ℤ \end{cases}$

Ta có

$\{\begin{cases} \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \geq \frac{4 k}{3} \\ x = \frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} \geq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 6 k^{2} + 8 k + 30}{3 k - 2} \geq 0 \\ \frac{2 k^{2} - 12 k + 18}{3 k - 2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{2}{3} < k \leq 3$

Vì $k \in ℤ$ nên $k \in \{1; 2; 3\}$

Với k = 1 suy ra $\frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} = 12 \in Z$

Với k = 2 suy ra $\frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} = \frac{9}{2} \notin \frac{9}{2}$

Với k = 3 suy ra $\frac{2 k^{2} + 10}{3 k - 2} = 4 \in Z$

Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12

Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm

Đáp án C

Câu 2:

Cho hàm số $f (0; + π) \to ℝ$ thỏa mãn điều kiện
$f (\tan (2 x)) = \tan^{4} (x) + \frac{1}{\tan^{4} (x)}$ ; $\forall x \in (0; \frac{π}{4})$
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(sinx) + f(cosx) trên khoảng $(0; \frac{π}{2})$

A. 196

B. 1

C. 169

D. 196 $π$

Xem đáp án

Đặt

Ta có

$t = \frac{2 \tan}{1 - \tan^{2} (x)} \Rightarrow \frac{2}{t} = \frac{1}{\tan (x)} - \tan (x) \Rightarrow \frac{4}{t^{2}} = \frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x) - 2$

Từ đó

${(\frac{4}{t^{2}} + 2)}^{2} = {(\frac{1}{\tan^{2} (x)} + \tan^{2} (x))}^{2} \Rightarrow \frac{1}{\tan^{4} (x)} + \tan^{4} (x) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Lúc đó $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$ với t = tan(2x)

Khi $x \in (0; \frac{π}{4})$ thì t = tan(2x) và liên tục trên miền đó nên ta có: $f (t) = \frac{16}{t^{4}} + \frac{16}{t^{2}} + 2$

Bắt đầu từ đây ta có:

$f (\sin (x)) + (\cos (x)) = \frac{16}{\sin^{4} (x)} + \frac{16}{\sin^{2} (x)} + 2 + \frac{16}{\cos^{4} (x)} + \frac{16}{\cos^{2} (x)} + 2 = 16 (\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)}) + 16 (\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}) + 4$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\frac{1}{\sin^{4} (x)} + \frac{1}{\cos^{4} (x)} \geq \frac{2}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} = \frac{8}{\sin^{2} (2 x)} \geq 8 \forall x \in (0; \frac{π}{2}) \frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \geq \frac{2}{\sin (x) \cos (x)} = \frac{4}{\sin (2 x)} \geq 4 \forall x \in (0; \frac{π}{2})$

Cuối cùng ta thu được f(sinx) + f(cosx) $\geq 196$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{π}{4}$

Đáp án A

Câu 3:

Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải.

A. 250

B. 91

C. $\frac{250}{91}$

D. $\frac{250}{90}$

Xem đáp án

Do thi đấu vòng tròn 1lượt nên 2 đột bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận. Số trận đấu của giải là $C_{14}^{2} = 91$

Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là 2 . 23 = 46

Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận không hòa là 3 nên tổng số điểm của 68 trận không hòa là

Vậy số điểm trung bình của 1 trận là $\frac{46 + 204}{91}$ = $\frac{250}{91}$ (điểm)

Đáp án C

Câu 4:

Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 kg; 2 kg;…; 8 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất để trọng lượng quả cân được chọn không quá 9 kg

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{5}$

D. $\frac{1}{8}$

Xem đáp án

Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân từ 8 quả cân

Gọi A là biến cố: “chọn được 3 quả cân có tổng khối lượng không quá 9kg”

Khi đó A = {(1;2;3); (1;2;4); ( 1;2;5); (1;2;6); (1;3;4); (1;3;5); (2;3;4)}

Suy ra n(A) = 7

Vậy xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{7}{C_{8}^{3}} = \frac{1}{8}$

Đáp án D

Câu 5:

Khai triển và rút gọn biểu thức
$1 - x + 2 {(1 - x)}^{2} + . + n {(1 - x)}^{n}$ thu được đa thức
$P (x) = a_{0} + a_{1} x + . . + a_{n} x^{n}$ . Tính hệ số $a_{8}$ biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{C_{n}^{2}} + \frac{7}{C_{n}^{3}} = \frac{1}{n}$

A. 79

B. 99

C. 89

D. 97

Xem đáp án

Ta có

$\frac{1}{C_{n}^{2}} + \frac{7}{C_{n}^{3}} = \frac{1}{n} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n \geq 3 \\ \frac{2}{n (n - 1)} \\ + \frac{7.3!}{n (n - 1) (n - 2)} = \frac{1}{n} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n \geq 3 \\ n^{2} - 5 n - 36 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow n = 9$

Suy ra $a_{8}$ là hệ số của $x^{8}$ trong khai triển $8 {(1 - x)}^{8} + 9 {(1 - x)}^{9}$

Vậy ta thu được $a_{8} = 8 . C_{8}^{8} + 9 . C_{9}^{8} = 89$

Đáp án C

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết