Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 12 )

Thi Online Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 12 )

8036 lượt thi
46 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm các họ nghiệm của phương trình $\cos (3 x) \cos^{3} (x) - \sin (3 x) \sin^{3} (x) = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{8}$

A. $\{\begin{cases} x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = \frac{π}{16} \\ x = - \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{16} + k π \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{18} + k \frac{π}{2} \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có:

$\cos (3 x) \cos^{3} (x) - \sin (3 x) \sin^{3} (x) = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{8} \Leftrightarrow \cos (3 x) . \frac{\cos (3 x) + 3 \cos (x)}{4} - \sin (3 x) . \frac{3 \sin (x) - \sin (3 x)}{4} = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{8} \Leftrightarrow 2 \cos^{2} (3 x) + 6 \cos (3 x) \cos (x) - 6 \sin (3 x) \sin (x) + 2 \sin^{2} (3 x) = 2 + 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow 2 (\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x)) + 6 (\cos (3 x) \cos (x) - \sin (3 x) \sin (x)) = 2 + 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos (4 x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \\ x = - \frac{π}{16} + k \frac{π}{2} \end{cases}$

Đáp án A

Câu 2:

Tìm tập xác định D của hàm số
$y = \sqrt{\frac{5 - 3 \cos (2 x)}{|1 - \sin (2 x - \frac{π}{2})|}}$

A. $D = R ∖ \{k 2 π, k \in ℤ\}$

B. $D = R ∖ \{k \frac{π}{2}, k \in ℤ\}$

C. $D = R ∖ \{k π, k \in ℤ\}$

D. $D = R ∖ \{k \frac{2 π}{3}, k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Ta có $- 1 \leq \cos (2 x) \leq 1$ nên $5 - 3 \cos (2 x) > 0$

Mặt khác $|1 + \sin (2 x - \frac{π}{2})| \geq 0$

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} \frac{5 - 3 \cos (2 x)}{|1 + \sin (2 x - \frac{π}{2})|} \geq 0 \\ 1 + \sin (2 x - \frac{π}{2}) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{2}) \neq - 1 \Leftrightarrow 2 x - \frac{π}{2} \neq - \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x \neq kπ, k \in ℤ$

(Để ý rằng bất phương trình (*) luôn đúng)

Tập xác định là $D = R ∖ \{k π, k \in ℤ\}$

Dáp án C

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 0 k h i x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ \\ \frac{1}{2 + \tan^{2} (x)} \end{cases}$
Tìm điều kiện của a để hàm số $g (x) = f (x) + f (a x)$ tuần hoàn

A. $a \in Z$

B. $a \in Q$

C. $a \in N$

D. $a \in (0; + \infty)$

Xem đáp án

Xét hàm số

- Nếu $a = \frac{p}{q}$ với $p \in Z, q \in N^{*}$ thì $T = q π$ là chu kì của g(x)

Vì $g (x + q π) = f (x + q π) + f (a x + p π)$ còn $π$ là chu kì của hàm số f(x)

- Ta sẽ chứng minh nếu a là số vô tỉ thì g(x) không tuần hoàn

Để ý rằng $g (0) = f (0) + f (0) = 1$ . Nếu $g (x_{0}) = 1$ đối với $x_{0} \neq 0$ nào đó thì $\tan^{2} (x_{0}) = 0$ và $\tan^{2} (a x_{0}) = 0$ . Điều này có nghĩa là $x_{0} = k π$ và $a x_{0} = l π$ với $k, l \in Z$

Nhưng $x_{0} \neq 0$ nghĩa là $a = \frac{1}{k}$ . Điều này mâu thuẫn vì a là số vô tỉ. Do đó hàm số g(x) nhận giá trị 1 tại điểm duy nhất x = 0. Như vậy f(x) sẽ không tuần hoàn

Đáp án B

Câu 4:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |\sin (x) - \cos (2 x)|$ . Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

A. $\sqrt{2 M m} = 2$

B. M + m = 2

C. $\frac{M}{m} = 0$

D. M - m = 2

Xem đáp án

Ta có

$y = |\sin (x) = \cos (2 x)| = |\sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))| = |2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1|$

Đặt t = sin(x), $- 1 \leq t \leq 1$

Ta sẽ đi tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = g (t) = |2 t^{2} + t - 1|$ trên đoạn [ -1;1 ]

Ta có $g (t) = \{\begin{cases} - 2 t^{3} - t + 1, - 1 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ 2 t^{3} + t - 1, \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}$

* Xét hàm số $h (t) = - 2 t^{3} - t + 1$ trên đoạn $[- 1; \frac{1}{2}]$

Dễ dàng tìm được

$\underset{r \in [\frac{1}{2}; 1]}{M a x} h (t) = \frac{9}{8} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4} \underset{r \in [\frac{1}{2}; 1]}{M i n} h (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

* Xét hàm số $k (t) = 2 t^{3} + t - 1$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 1]$

Cũng dễ dàng tìm được

$\underset{r \in [\frac{1}{2}; 1]}{M a x} k (t) = 2 \Leftrightarrow t = 1 \underset{r \in [\frac{1}{2}; 1]}{M i n} k (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Qua hai trường hợp trên ta đi đến kết luận

$\underset{r \in [- 1; 3]}{M a x} g (t) = 2 \Leftrightarrow t = 1 \underset{r \in [- 1; 3]}{M i n} g (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Hay

$M = M a x y = 2 \Leftrightarrow \sin (x) = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{π}{2} + k 2 π m = Miny = 0 \Leftrightarrow \sin (x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{cases}$

Đáp án C

Câu 5:

Tính giới hạn $\lim_{x \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{6^{k}}{(3^{k + 1} - 2^{k + 1}) (3^{k} - 2^{k})}$

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{6^{k}}{(3^{k + 1} - 2^{k + 1}) (3^{k} - 2^{k})} = 6 (\frac{3^{k} - 2^{k}}{3^{k + 1} - 2^{k + 1}} - \frac{3^{k + 1} - 2^{k + 1}}{3^{k} - 2^{k}}) \sum_{k = 1}^{n} \frac{6^{k}}{(3^{k + 1} - 2^{k + 1}) (3^{k} - 2^{k})} = 6 \frac{3^{n} - 2^{n}}{3^{n + 1} - 2^{n + 1}}$

Do đó:

$\lim_{x \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{6^{k}}{(3^{k + 1} - 2^{k + 1}) (3^{k} - 2^{k})} = 6 \lim_{n \to \infty} \frac{(3^{n} - 2^{n})}{3^{n + 1} - 2^{n + 1}} = 6 \lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{n}}{1 - 2 . {(\frac{2}{3})}^{2}} = 2$

Đáp án D

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết