Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 14 )

Điều kiện

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)\ne 0\\ \cos \left(x\right)\ne 0\end{array}\right. \\ \iff \sin \left(2x\right)\ne 0 \\ \iff x\ne k\frac{\mathrm{\pi }}{2},k\in Z \end{gathered}$$  

Ta có 

$$\begin{gathered} y={\left(2co{t}^{2}x\right)}^n+\left(2+{\tan }^2\left(x\right)\right) \\ \ge 2\sqrt{{\left(2+co{t}^{2}x\right)}^n{\left(2+{\tan }^2\left(x\right)\right)}^n} \\ =2\sqrt{\left[5+2\left({\tan }^2\left(x\right)+co{t}^{2}x\right)\right]}\ge 2\sqrt{{\left(5+4\right)}^n} \\ =2.3^n \\ miny=2.3^n \\ \iff {\tan }^2\left(x\right)=co{t}^{2}x \\ \iff \tan \left(x\right)=\pm 1 \\ \iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{Z} \end{gathered}$$

Đáp án C

Phương trình đã cho tương đương với 

$$\begin{gathered} 2\left(1-\cos x\right)-\sqrt{3}\cos \left(2x\right) \\ =1+1+\cos \left(2x-\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \iff -2\cos \left(x\right)=\sqrt{3}\cos \left(2x\right)-\sin \left(2x\right) \\ \iff -\cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(2x\right)-\frac{1}{2}\sin \left(2x\right) \\ \iff \cos \left(\mathrm{\pi }-\mathrm{x}\right)=\cos \left(2x+\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right) \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5\mathrm{\pi }}{18}+k\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\\ x=-\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $x\in \left(0;\mathrm{\pi }\right)$ nên $x\in \left\{\frac{5\mathrm{\pi }}{18};\frac{17\mathrm{\pi }}{18};\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right\}$.

Vậy tổng các nghiệm là $\frac{37\mathrm{\pi }}{18}$

Đáp án A

Điều kiện $\cos \left(x\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }$.

Phương trình đã cho tương đương: 

$$\begin{gathered} \left({\tan }^2\left(x\right)+\tan \left(x\right)\right){\cos }^2\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right) \\ \iff {\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right) \\ \iff 2{\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(2x\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right) \\ \iff 2\sin \left(x\right)\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right) \\ \iff \left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)\left(2\sin \left(x\right)-1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)=0\\ 2\sin \left(x\right)-1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\tan \left(x\right)=-1\\ \sin \left(x\right)=\frac{1}{2}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }\\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }\\ x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án D

Trước hết ta giải hệ bất phương trình để tìm x, y

Phương trình trong hệ cho ta

$$\begin{gathered} \left(y-1\right)!=720\iff \left(y-1\right)!=6! \\ \iff y-1=6\iff y=7 \end{gathered}$$ 

Thay y = 7 vào bất phương trình trong hệ ta được: $C_x^{x-2}+C_{10}^2+\frac{9}{2}<\frac{19}{2}{A}_x^1$ 

Với điều kiện $x\ge 2,x\in N$, bất phương trình tương đương với: 

$$\begin{gathered} \frac{x!}{2!\left(x-2\right)!}+45+\frac{9}{2}<\frac{19}{2}x \\ \iff \frac{x\left(x-1\right)}{2}+45+\frac{9}{2}<\frac{19}{2}x \end{gathered}$$

$\iff x^2-20x+99<0\iff 9<x<11$ Vì $x\in N$ nên x = 10

Như vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung. Để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các trường hợp sau:

Ÿ Trường hợp 1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có $C_7^1.C_{10}^2=1575$ cách

Ÿ Trường hợp 2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có $C_7^4.C_{10}^1=350$ cách

Ÿ Trường hợp 3: 5 bông hồng nhung có $C_7^5=21$ cách

Suy ra có tất cả $1575+350+21=1946$ cách.

Số cách lấy ra 5 bông hồng bất kì là $C_{17}^5=6188$.

Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{1946}{6188}=\frac{139}{442}$

Đáp án C

Số cách chọn 6 sản phẩm bất kì trong 10 sản phẩm là: $C_{10}^6=210$ 

Số cách chọn 6 sản phẩm mà có 1 phế phẩm là: $C_2^1{C}_8^5=112$ 

Số cách chọn 6 sản phẩm mà không có phế phẩm nào: $C_8^6=28$ 

Suy ra số cách chọn 6 sản phẩm mà có không quá 1 phế phẩm là:  

Vậy xác suất cần tìm là: $P=\frac{140}{210}=\frac{2}{3}$

Đáp án A

+ Loại 1: bầu 4 người tùy ý (không phân biệt nam, nữ)

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có $A_{12}^2$ cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có $C_{10}^2$ cách.

Suy ra có $A_{12}^2.C_{10}^2$ cách bầu loại 1.

+ Loại 2: bầu 4 người toàn nam.

- Bước 1: bầu chủ tịch và phó chủ tịch có $A_7^2$ cách.

- Bước 2: bầu 2 ủy viên có $C_5^2$ cách.

Suy ra có $A_7^2.C_5^2$ cách bầu loại 2.

Vậy có $A_{12}^2.C_{10}^2-A_7^2.C_5^2=5520$ cách.

Đáp án B

Điều kiện: $2\le n\in N$

Ta có

$$\begin{gathered} A_{n+3}^3-6C_{n+1}^3=294 \\ \iff \frac{\left(n+3\right)!}{n!}-6\frac{\left(n+1\right)!}{3!\left(n-2\right)!}=294 \\ \iff \left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)-\left(n+1\right)n\left(n-1\right)=294 \\ \iff n^2+2n-48=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=6\\ n=-8\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

So với điều kiện chọn n = 6

Với n = 6 ta có ${\left(\frac{2x^4}{y}+\frac{y^2}{x^2}\right)}^6$=$\sum _{k=0}^6{C}_0^k{\left(\frac{2x^4}{y}\right)}^{6-k}{\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}^k$=$\sum _{k=0}^6{C}_0^k{2}^{6-k}{x}^{24-6k}{y}^{-6+3k}$ 

Giả thiết bài toán cho ta $\left(24-6k\right)\left(-6+3k\right)=18$$\iff {\left(k-3\right)}^2=0\iff k=3$ 

Khi k = 3 ta thu được số hạng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $C_6^3{2}^2{x}^6{y}^3=160x^6{y}^3$

Đáp án D

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và C’D’. Khi đó G là trung điểm IJ.

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD\text{'}}+\overrightarrow{D\text{'}J}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right) \\ =\frac{1}{4}\left(3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right) \end{gathered}$$

 Đáp án C