Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu $v_0>0$từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O nghiêng một góc $\alpha$ với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc $\alpha$ ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol $\left({\gamma }_{\alpha }\right):y=-\frac{g}{2v_0^2}\left(1+{\tan }^2\left(\alpha \right)\right)x^2+x\tan \left(\alpha \right)$ (với g là gia tốc trọng trường) và giả sử rằng quỹ đạo lấy luôn tiếp xúc với parabol an toàn $\left(T\right):y=-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2+\frac{v_0^2}{2g}$ . Tìm tọa độ tiếp điểm khi $\alpha \in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$

Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Tìm xác suất để trong 6 sản phẩm đó có không quá 1 phế phẩm.

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+x-1$ và $y=x^4+x-1$ là:

Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\mathrm{\pi }\right)$ của phương trình $4{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sqrt{3}\cos \left(2x\right)=1+2{\cos }^2\left(x-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)$

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc của dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức $E\left(v\right)=c{v}^{3}t$, trong đó c là một hằng số và E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Tính tổng các giá trị của tham số m để số phức $z=\frac{m-1+2\left(m-1\right)i}{1-mi}$ là số thực.

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm trên . Xét các mệnh đề sau đây:

(I). ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin \left(2x\right).f\left(\sin x\right)dx={\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$

(II). ${\int }_0^1\frac{f\left(e^x\right)}{e^x}dx={\int }_1^e\frac{f\left(x\right)}{x^2}dx$

(III). ${\int }_0^a{x}^{3}f\left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{a^2}xf\left(x\right)dx$

Những mệnh đề nào trong các mệnh đề đã cho là đúng?