Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 6 )

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} 2{\sin }^3\left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sin \left(x\right)=0\\ \sin \left(x\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do điều kiện $\left|\sin \left(x\right)\right|<\frac{1}{2}$ nên sinx = 0 nên $\mathrm{x}=\mathrm{k\pi };\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Đáp án A

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \left(m-5\right){\sin }^2\left(x\right)-2 \\ \left(m-2\right)\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \\ +\left(m-5\right){\cos }^2\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

Nếu m = -5 thì phương trình thành -6sin(x)cos(x). Do cos(x)$\ne$0; $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ nên sin(x) = 0 nên x = 0 $\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Nếu m$\ne$0 thì cos(x)$\ne$0. Chia cả hai vế của pt cho ${\cos }^2\left(x\right)$ ta được:

$$\begin{gathered} \left(m-5\right){\tan }^2\left(x\right)-2 \\ \left(m-2\right)\tan \left(x\right)+\left(m-5\right)=0 \end{gathered}$$

Đặt t = tan(x). $\forall t\in R$ thì phương trình có một giá trị duy nhất $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ mà t = tan(x) nên có hai giá trị $x\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Khi đó $∆\text{'}$ =  6m - 21 nên m > $\frac{7}{2}$Vậy $\frac{7}{2}<m\ne 5$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Gọi số cần lập là A = $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $1\le a_1\le 2$.

+ Trường hợp 1: $a_1$ = 1.

Có 4 cách chọn $a_5$ và $A_5^3$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 4 . $A_5^3$ số.

+ Trường hợp 2: $a_1$ = 2; $a_2$ lẻ.

Có 2 cách chọn $a_2$, 3 cách chọn $a_5$ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 2 . 3 . $A_4^2$ = 72 số.

+ Trường hợp 3: $a_1$ = 2; $a_2$ chẵn.

Có 2 cách chọn $a_2$, 2 cách chọn $a_3$ và $A_4^2$ cách chọn các chữ số còn lại nên có 2 . 2 . $A_4^2$ = 48 số.

Vậy có 240 + 72 + 48 = 360 số

Đáp án A

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đôi một được chọn từ các chữ số 0; 1; 2; 3;4;5;6 là $\overline{abcd}$.

a có 6 cách chọn; các số còn lại có $A_6^3$ cách chọn. Suy ra số phần tử của S là 6 . $A_6^3$ = 720

Do đó $n\left(\Omega \right)$ = 720

Gọi A là biến cố: “số được chọn là số chẵn đồng thời chữ số hàng đơn vị bằng tổng các chữ số hàng chục, trăm và nghìn”.

Số được chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài nếu

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}d\in \left\{0;2;4;6\right\}\\ d=a+b+c\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d\in \left\{4;6\right\}\\ d=a+b+c\end{array}\right. \end{gathered}$$.

* Trường hợp 1: Số có dạng $\overline{abc4}$ với a + b + c = 4 suy ra tập { a;b;c } là { 0;1;3 }. Vì a,b,c đôi một khác nhau nên có 2 cách chọn a; 2 cách chọn b; 1 cách chọn c. Do đó số các số thuộc dạng này là 2 . 2 . 1 = 4

* Trường hợp 2: Số có dạng $\overline{abc6}$ với a + b + c = 6 suy ra tập { a;b;c } có thể là một trong các tập { 0;1;5 }; { 0;2;4 }; { 1;2;3 }

+ Nếu { a;b;c } là tập { 0;1;5 } hoặc { 0;2;4 } thì mỗi trường hợp có 4 số (tương tự trường hợp trên)

+ Nếu { a;b;c } là tập { 1;2;3 } thì có $P_3$ = 3! = 6 số.

Do đó số các số thuộc dạng này là 4 + 4 + 6 = 14

Qua hai trường hợp trên, ta suy ra n(A): = 14 + 4 = 18.

Vậy xác suất cần tìm là

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{18}{720}=\frac{1}{40}$

Đáp án C

Điều kiện: n - 1$\ge$4 nên n$\ge$5

Hệ điều kiện ban đầu tương đương:

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{4.3.2.1}\\ -\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{3.2.1}\\ \le \frac{5}{4}\left(n-2\right)\left(n-3\right)\\ \frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{5.4.3.2.1}\\ \ge \frac{7}{15}\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{n}^2-9n-22<0\\ n\ge 5\\ n^2-5n-50\ge 0\\ \Rightarrow n=10\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy n = 10 thỏa yêu cầu bài toán

Đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} U_n=\frac{1}{\sqrt[4]{n^3}+\sqrt[4]{n^3+3n^2+3n+1}} \\ \frac{1}{\sqrt[4]{n^3+2n^2+n}+\sqrt[4]{n^3+n^2}} \\ =\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt[4]{n}+\sqrt{n}\sqrt[4]{n+1}} \\ \frac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt[4]{n}+\sqrt{n+1}\sqrt[4]{n+1}} \\ =\frac{1}{\sqrt{n}\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} \\ \frac{1}{\sqrt{n+1}\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} \\ =\frac{1}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)} \\ \frac{1}{\left(\sqrt[4]{n}+\sqrt[4]{n+1}\right)} \\ =\frac{\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)} \\ \frac{1}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)} \\ =\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n},n\ge 1 \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} S=u_1+u_2+..+u_{{2018}^4-1} \\ =\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{1}+\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2} \\ +..+\sqrt[4]{{2018}^4}-\sqrt[4]{{2018}^4-1} \\ =\sqrt[4]{{2018}^4}-1=2017 \end{gathered}$$

Đáp án B

Ta có

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3000}\right)-\left(\sqrt[3]{x^3+3000}\right)$

= +$\infty$ - (-$\infty$) = +$\infty$

Đáp án C

Tại điểm x = -$\mathrm{\pi }$ hàm số không xác định nên hàm số gián đoạn.

Ta có 

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(\frac{2\sin \left(x\right)}{x}\right)=2 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+2\right) \\ =2=f\left(0\right) \end{gathered}$$

Do $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = f(0) nên hàm số liên tục tại điểm x = 0.

Vậy hàm số chỉ gián đoạn tại điểm x = -$\mathrm{\pi }$

Đáp án A