Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 4 )

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\cos }^2\left(\alpha \right)}=1+{\tan }^2\left(\alpha \right) \\ =1+4=5 \end{gathered}$$

Vì $\mathrm{\pi }<\mathrm{\alpha }<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ nên $\cos \left(\alpha \right)<0$

Suy ra $\cos \left(\alpha \right)=\frac{1}{\sqrt{5}}$

Khi đó

$M={\sin }^2\left(\alpha \right)+\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}-2\alpha \right)$

$$\begin{gathered} ={\sin }^2\left(\alpha \right)+\cos \left(\alpha \right)+\cos \left(2\alpha \right) \\ ={\sin }^2\left(\alpha \right)+\cos \left(\alpha \right)+2{\cos }^2\left(\alpha \right)-1 \\ ={\cos }^2\left(\alpha \right)+\cos \left(\alpha \right) \\ =\frac{1}{5}-\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Đáp án C

Ta có

$$\begin{gathered} {\sin }^5\left(x\right)\le {\sin }^4\left(x\right) \\ \Rightarrow y\le {\sin }^4\left(x\right)+\sqrt{3}\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$\begin{gathered} \left(1-\cos \left(x\right)\right)\left(1+\cos \left(x\right)\right)\left(1+\cos \left(x\right)\right) \\ =\frac{1}{2}\left(2-2\cos \left(x\right)\right)\left(1+\cos \left(x\right)\right)\left(1+\cos \left(x\right)\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \le \frac{1}{2}{\left(\frac{2-2\cos \left(x\right)+{(1+\cos \left(x\right))}^2}{3}\right)}^3 \\ =\frac{32}{27}<\sqrt{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt{3}-\left(1-\cos x\right){\left(1+\cos x\right)}^2>0 \\ \Rightarrow \left(1-\cos x\right)\left[\sqrt{3}-\left(1-\cos x\right){\left(1+\cos x\right)}^2\right]\ge 0 \\ \Rightarrow \sqrt{3}\left(1-\cos x\right)-{\sin }^4\left(x\right)\ge 0 \\ \iff {\sin }^4\left(x\right)+\sqrt{3}\cos x\le \sqrt{3} \end{gathered}$$

M = maxy = $\sqrt{3}$$\iff$cos(x) = 1

$\iff$$x=k2\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Ta lại có

$y\ge -{\sin }^4\left(x\right)+\sqrt{3}\cos \left(x\right)$

Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$$\begin{gathered} \left(1+\cos x\right)\left(1-\cos x\right)\left(1-\cos x\right) \\ =\frac{1}{2}\left(2+2\cos x\right){\left(1-\cos x\right)}^2 \\ \ge \frac{32}{27}\le \sqrt{3} \\ \Rightarrow \sqrt{3}-\left(1+\cos x\right){\left(1-\cos x\right)}^2>0 \\ \Rightarrow \left(1+\cos x\right)\left[\sqrt{3}-\left(1+\cos x\right){\left(1-\cos x\right)}^2\right] \\ \iff {\sin }^4\left(x\right)+\sqrt{3}\cos \left(x\right)\ge -\sqrt{3} \\ m=miny=-\sqrt{3} \\ \iff \cos x=-1 \\ \iff x=k2\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Do đó $\frac{M}{m}=-1$. Vì vậy, mệnh đề D sai.

Đáp án cần chọn là D

$$\begin{gathered} A_n^2+3C_n^{n-2}-C_{n+1}^3 \\ =A_{n+1}^2-2n \end{gathered}$$

Điều kiện: $n\in \mathrm{\mathbb{N}},n\ge 2$

Với điều kiện trên, (*) tương đương với:

$$\begin{gathered} n\left(n-1\right)+\frac{3}{6}n\left(n-1\right) \\ -\frac{1}{6}n\left(n-1\right)\left(n+1\right) \\ =n\left(n-1\right)-2n \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \iff \frac{3}{2}\left(n-1\right)-\frac{1}{6}\left(n^2-1\right) \\ =n+1-2\iff n=8 \end{gathered}$$

Khi đó :

$$\begin{gathered} P\left(x\right)={\left(1+2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}\right)}^4 \\ =\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(-3\right)}^{4-k} \\ {x}^{\frac{4-k}{3}}{\left(1+2x^{\frac{1}{2}}\right)}^k \\ =\sum _{k=0}^4{C}_4^k{\left(-3\right)}^{4-k} \\ {x}^{\frac{4-k}{3}}.\underset{i=0}{\overset{k}{\sum C_k^i}}.2^i{x}^{\frac{i}{2}} \end{gathered}$$

Hệ số của số hạng x ứng với

$$\begin{gathered} \frac{4-k}{3}+\frac{i}{2}=1 \\ \iff 2k=3i=2 \end{gathered}$$

Vì $i,k\in \mathrm{\mathbb{N}}$ và $i\le k\le 4$ nên ta suy ra: k = 4, i = 2 hoặc k = 2 và i = 4.Như vậy hệ số của x trong khai triển là:

$$\begin{gathered} C_4^{-4}{\left(-3\right)}^0.C_4^2.2^2 \\ +C_4^2{\left(-3\right)}^2.C_2^0.2^0 \\ =78 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là B

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Số phải tìm chứa bộ 123.

Lấy 4 chữ số $\in \left\{0;4;5;6;7;8;9\right\}$: có $A_7^4$ cách

Cài bộ 123 vào vị trí đầu, hoặc cuối, hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số vừa lấy: có 5 cách.

Suy ra có $5A_7^4=5.840=4200$ số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123

Trong các số trên, có $4A_6^3=4.120=480$ số có chữ số 0 đứng đầu.

Suy ra có $5A_7^4-4A_6^3=3720$ số phải tìm trong đó có mặt bộ 123

Trường  hợp 2: Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự)

Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau, có mặt 321

Tóm lại, có 3720.2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền 2 chữ số 1 và 3

Đáp án D

Xét các dãy số $\left(x_1;x_2;x_3\right)$, trong đó $\left(x_1;x_2;x_3\right)$ là một hoán vị của ba số 1,2,3 (ở đây $x_i=i$, tức là lá thư i đã bỏ đúng địa chỉ).

Gọi $\Omega$ là tập hợp tất cả các khả năng bỏ 3 lá thư vào 3 phong bì. Khi đó $\left|\Omega \right|=3!=6$.

Gọi A là biến cố: “Có ít nhât 1 lá thư bỏ đúng phong bì”. Các khả năng thuận lợi của A là ( 1;2;3 ); ( 1;3;2 ); ( 3;2;1 ); ( 2;1;3 ). Do vậy $\left|{\Omega }_A\right|=4$.

Từ đó $P\left(A\right)=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là A

Ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}3\left(n+2\right)x_{n+1}^2\\ =2\left(n+1\right)x_{n+1}^2+\left(n+4\right)\end{array} \\ \forall n\ge 21 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\iff 3\left(n+2\right)x_{n+1}^2\\ =2\left(n+1\right)x_{n+1}^2-2\left(n+1\right)\\ +3\left(n-2\right),\forall n\ge 21\end{array} \\ \iff 3\left(n+2\right)\left(x_{n+1}^2-1\right) \\ =2\left(n+1\right)\left(x_n^2-1\right) \end{gathered}$$

Đặt $y_n=x_n^2-1$. Khi đó

$y_{n+1}=\frac{2}{3}.\frac{n+1}{n+2}{y}_n$

Suy ra

$$\begin{gathered} y_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)}{3\left(n+2\right)}.\frac{2n}{3\left(n+1\right)} \\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}.\frac{1}{n+2}{y}_1 \end{gathered}$$

hay $lim{y}_n=0$. Vậy $lim{x}_n$ = 1

Đáp án cần chọn là B

Ta có

$$\begin{gathered} y\text{'}=2x{e}^x+\left(x^2+1\right)e^x \\ =e^x\left(x^2+2x+1\right) \\ =e^x{\left(x+1\right)}^2 \end{gathered}$$

Vậy $dy=e^x{\left(x+1\right)}^{2}dx$

Đáp án C

Do f có đạo hàm tại điểm nên f  liên tục tại điểm .

Khi đó

a + b + 2 = 2a + b + 1 nên a = 1

Với a = 1, hàm số f(x) trở thành

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+2a+b;x<1\\ a{x}^2+bx+2;x\ge 1\end{array}\right.$

f(x) có đạo hàm tại điểm $x_0=1$ khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1} \\ \iff \underset{x\to 1+}{\lim }\frac{x^2+bx+2-b-3}{x-1} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+2+b-b-3}{x-1} \\ \iff \underset{x\to 1+}{\lim }\left(x+b+1\right)=lim1 \\ \iff b+2=1\Rightarrow -1 \end{gathered}$$

Suy ra a + b = 0. Vậy P = 5.

Đáp án cần chọn là D