Cho góc $\alpha$ thỏa mãn điều kiện $\mathrm{\pi }<\mathrm{\alpha }<\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ và $\tan \left(\alpha \right)=2$. Tính giá trị của biểu thức

$M={\sin }^2\left(\alpha \right)+\sin \left(\alpha +\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{2}-2\alpha \right)$

Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của mỗi học sinh được tính theo công thức

$M\left(t\right)=75-20\ln \left(1+t\right),t\ge 0$(đơn vị %).

Hỏi sau khoảng bao lâu thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%?

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=3$; $\left|z_2\right|=4$; $\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{37}$. Tìm các số phức $z=\frac{z_1}{z_2}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 

$\left(S\right)=x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=0$ và điểm ( 4;4;0 ).

Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ),

biết điểm $B\in \left(S\right)$ và tam giác OAB đều.

Tính đạo hàm của hàm số $y={\log }_{2x}\left(3x+1\right)$

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s=t^2-\frac{1}{6}{t}^3$. Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Tìm giá trị của m để hàm số

$y={\log }_2{\log }_3\left[\left(m-2\right)x^2+2\left(m-2\right)x+m\right]$

xác định trên R

Xét chiều biến thiên của hàm số

$y=\frac{x^2+8x-24}{x^2-4}$