Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết ( đề 7 )

Ta có $\frac{\cos \left(x\right)}{x}=\frac{1}{5}$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ \cos \left(x\right)=\frac{x}{5}\end{array}\right.$.

Số nghiệm phương trình $\frac{\cos \left(x\right)}{x}=\frac{1}{5}$ là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cos(x) và y = $\frac{x}{5}$.

Để ý rằng đường thẳng y = $\frac{x}{5}$ cắt đồ thị hàm số y = cos(x) tại hai điểm (trừ điểm x = 0) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Hãy xem hình vẽ dưới đây:

Đáp án B

Điều kiện: $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{Z}\right)$

Ta có

$$\begin{gathered} \tan \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\tan \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) \\ =\tan \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)cot\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}-x\right) \\ =-1 \end{gathered}$$

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \frac{{\sin }^3\left(x\right).\sin \left(3x\right)+{\cos }^3\left(x\right)\cos \left(3x\right)}{\tan \left(x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}}\right)\tan \left(x+{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}\right)} \\ =\frac{1}{8} \\ =\frac{1-\cos \left(2x\right)}{x}.\frac{\cos \left(2x\right)-\cos \left(4x\right)}{2} \\ +\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}.\frac{\cos \left(2x\right)+\cos \left(4x\right)}{2} \\ =\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{Z}\right)$

Đáp án A

Số cách chọn 9 viên tùy ý là $C_{18}^9$.

Những trường hợp không có đủ ba viên bi khác màu là:

* Không có bi đỏ: Khả năng này không xảy ra vì tổng các viên bi xanh và vàng là 8.

* Không có bi xanh: Có $C_{13}^9$ cách.

* Không có bi vàng: Có $C_{15}^9$ cách.

Mặt khác trong các cách chọn không có bi xanh, không có bi vàng thì $C_{10}^9$ cách chọn 9 viên bi đỏ được tính hai lần.

Vậy số cách chọn 9 viên bi có đủ cả ba màu là:

$C_{10}^9+C_{18}^9-C_{13}^9-C_{15}^9$ = 42910

Đáp án D

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập X là: 5.4.3 = 60.

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2 = 24 và số các số có mặt chữ số 5 là 60 - 24 = 36.

Gọi A là biến cố hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5; B là biến cố hai số được viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5.

Rõ ràng A và B xung khắc. Do đó áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:

$$\begin{gathered} P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right) \\ =\frac{C_{36}^1.C_{36}^1}{C_{60}^1.C_{60}^1}+\frac{C_{24}^1.C_{24}^1}{C_{60}^1.C_{60}^1} \\ =\frac{13}{25} \end{gathered}$$

Vậy xác suất cần tìm là 

$$\begin{gathered} P=1-P\left(A\cup B\right) \\ =1-\frac{13}{25}=\frac{12}{25} \end{gathered}$$

Đáp án A

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2 \\ +C_n^3{x}^3+...+C_n^n{x}^n \end{gathered}$$

Lấy đạo hàm hai vế, ta được

$$\begin{gathered} n{\left(1+x\right)}^{n-1}=C_n^1+2C_n^{2}x \\ +3C_n^3{x}^2+...+n{C}_n^n{x}^{n-1} \end{gathered}$$

Lấy tích phân hai vế, ta được:

$$\begin{gathered} n{\int }_1^2{\left(1+x\right)}^{n-1}dx \\ =C_n^1{\int }_1^{2}dx+2C_n^2{\int }_1^{2}xdx \\ +3C_n^3{\int }_1^2{x}^{2}dx \\ +...+n{C}_n^n{\int }_1^2{x}^{n-1}dx \end{gathered}$$

Tính toán các tích phân trên, ta được:

$$\begin{gathered} C_n^1+3C_n^2+7C_n^3+...+ \\ \left(2^n-1\right)C_n^n=3^n-2^n \end{gathered}$$

Theo đề ta có: 

$$\begin{gathered} 3^n-2^n=3^{2n}-2^n-6480 \\ \iff 3^{2n}-3^n-6480=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình mũ này ta tìm được n = 4. Vậy n = 4 là nghiệm của phương trình đã cho

Đáp án A

Ta có $u_2=\frac{1}{3}$

Với $n\ge 3$ ta có

$$\begin{gathered} \left[u_1+2u_2+..+\left(n-1\right)u_{n-1}\right] \\ +n{u}_n=n\left(n^2-1\right)u_n+n{u}_n \\ =n^3{u}_n \\ \Rightarrow n{u_n}^3=n{u}_n+{\left(n-1\right)}^3{u}_{n-1} \\ \Rightarrow \frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{{\left(n-1\right)}^3}{n^3-n} \\ ={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^2\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(1\right) \end{gathered}$$

Từ (1) suy ra

$$\begin{gathered} \frac{u_n}{u_2}=\frac{u_n}{u_{n-1}}.\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}...\frac{u_3}{u_2} \\ =\left[{\left(\frac{n-1}{n}\right)}^2.{\left(\frac{n-1}{n-2}\right)}^2..{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right] \\ \left(\frac{n}{n-1}.\frac{n-1}{n}...\frac{3}{4}\right) \\ =\frac{12}{n^2\left(n+1\right)} \\ \Rightarrow u_n=\frac{4}{n^2\left(n+1\right)} \end{gathered}$$

Vậy $lim{\left(n+2018\right)}^3{U}_n$= 4

Đáp án D

Bởi vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=0$ 

= $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}}=+\infty$

Đáp án D

Ta có: limf(x) = lim( 2mx - 3 ) = 2m - 3

lìm(x) = $lim\left(x^2+n\right)$ = 1 + n

Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi: 

$$\begin{gathered} 2m-3=1+n=m+2 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=5\\ n=6\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy ${\left(m-n\right)}^{2018}+{\left(\frac{m+1}{n}\right)}^{2019}$ = 2

Đáp án D