Cho phương trình $x^{12}+1=4x^4\sqrt{x^n-1}\left(1\right)$. Tìm số n nguyên dương bé nhất để phương trình có nghiệm

Cái hay của bài toán này là đi tìm giá trị bé nhất của n bởi vì nó yêu cầu người làm toán phải biết “khôn khéo” trong quá trình biện luận để loại bỏ những giá trị không cần thiết và sử dụng linh hoạt phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.

Điều kiện: $x^n-1\ge 0$

* x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (1)

* Với n chẵn thì nếu $x_0$ là một nghiệm của (1) thì $-x_0$ cũng là một nghiệm của (1)

* Với n lẻ thì $x\ge 1$. Khi đó phương trình (1) xác định và ta chỉ cần xét x > 1

Từ x > 1 ta có $x^4+1>2x^2$ và $x^8-x^4+1=x^4\left(x^4-1\right)+1>2x^2\sqrt{x^4-1}$

Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức này ta được:

 $$\begin{gathered} \left(x^4+1\right)\left(x^8-x^4+1\right)>4x^4\sqrt{x^4-1} \\ \iff x^{12}+1>4x^4\sqrt{x^4-1} \end{gathered}$$

Từ (2) ta thấy với n = 4, phương trình (1) vô nghiệm và do x > 1 nên với n < 4 thì phương trình (1) cũng vô nghiệm

* Với n = 5

Xét hàm số $x^{12}+1=4x^4\sqrt{x^n-1}\left(1\right)$ liên tục và xác định trên $[1;+\infty )$

Ta có 

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=2>0 \\ f\left(\frac{6}{5}\right)={\left(\frac{6}{5}\right)}^{12}+1-4{\left(\frac{6}{5}\right)}^4\sqrt{{\left(\frac{6}{5}\right)}^5-1}<0 \end{gathered}$$

Như vậy, phương trình f(x) = 0 có nghiệm $x_0\in \left(0;\frac{6}{5}\right)$

* Với n > 5 lại xét hàm số $x^{12}+1=4x^4\sqrt{x^n-1}\left(1\right)$ liên tục trên $[1;+\infty )$

Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được phương trình g(x) = 0 có nghiệm $x_0\left(1;\frac{6}{5}\right)$

Do đó phương trình có nghiệm với mọi $n\ge 5$ và số tự nhiên bé nhất cần tìm là n = 5

Đáp án C