Cho $a\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Hãy tính ${\int }_e^{\tan \left(a\right)}\frac{xdx}{1+x^2}+{\int }_e^{cot\left(a\right)}\frac{dx}{x\left(1+x^2\right)}$

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\left|\sin \left(x\right)-\cos \left(2x\right)\right|$. Hỏi mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?

Rút gọn biểu thức $P=\frac{1-{{\log }^3}_a\left(b\right)}{\left({\log }_a\left(b\right)+{\log }_b\left(a\right)+1\right){\log }_a\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}$ với 0 < a, b$\ne 1$

Tìm a để hàm số $y=x-\sqrt{x^2-x+a}$ luôn nghịch biến trên R

Tìm m để số phức $z=1+\left(1+mi\right)+{\left(1+mi\right)}^2$ là số thuần ảo

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2z+4y-6z-11$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+2y-z+17=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ song song với $\left(\alpha \right)$ và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng $6\mathrm{\pi }$

Trong loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cácbon 14 nữa. Lương cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cái cây sinh trưởng thì từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức $P\left(t\right)=100.{\left(0,5\right)}^{\frac{t}{5750}}\left(\%\right)$ Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại công trình kiến trúc đó (lấy gần đúng).

Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}$