Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): $y = x^2$ và đường thẳng (d): $y=-\frac{2}{3}\left(m+1\right)+\frac{1}{3}$  (m là tham số). Trong trường hợp (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là $x_1; x_2$. Đặt $f \left(x\right) = x^3 + (m + 1)x^2 – x$ khi đó?

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$  và đường thẳng (d): x – 2y + 12 = 0. Gọi giao điểm của (d) và (P) là A, B. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC vuông tại C.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình $y=-\frac{x^2}{2}$ . Gọi (d) là đường thẳng đi qua I (0; −2) và có hệ số góc k. Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Khi đó tam giác IHK là tam giác?

Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol (P): $y = x^2$ tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = $2\sqrt{10}$

Cho parabol (P): $y = x^2$ và đường thẳng (d): y = mx + 1. Gọi A $(x_1; y_1)$ và B $(x_2; y_2)$ là các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để biểu thức $M = (y_1 - 1)( y_2 - 1)$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – $a^2$ = 0 và parabol (P): $y = a{x}^2$ (a > 0). Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó có kết luận gì về vị trí của hai điểm A, B

Cho parabol (P): $y=\frac{1}{4}{x}^2$  và đường thẳng d: $y=\frac{11}{8}x-\frac{3}{2}$ . Gọi A, B là các giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm C trên trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): y = kx $+\frac{1}{2}$  và parabol (P): $y=\frac{1}{2}{x}^2$ . Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?