Xét tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\left(3+co{t}^2\alpha \right)\left(3+co{t}^2\beta \right)\left(3+co{t}^2\gamma \right)$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z - 10 = 0 điểm A(1;3;2) và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-2+2t\\ y=1+t\\ z=1-t\end{array}\right.$. Tìm phương trình đường thẳng D cắt (P) và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của cạnh MN

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,...$  sao cho $A_1{B}_1{C}_1$ là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương $n\ge 2$, tam giác $A_n{B}_n{C}_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_n{B}_n{C}_n$. Tính tổng $S=S_1+S_2+...+S_n+...?$

Tập nghiệm của bất phương trình $2.7^{x+2}+7.2^{x+2}\le 351\sqrt{{14}^x}$ có dạng S = [a;b]. Giá trị b - 2a thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $y=\sqrt{1+3x-x^2}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x - 2y + 2z - 5 = 0 và (Q):4x + 5y - z + 1 = 0. Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Véctơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vecto nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0), B(2;2;2), C(-2;3;1) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Tìm điểm M thuộc d để thể tích V của tứ diện MABC bằng 3.

Cho ab, là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}{\log }_{2}a={\log }_2\frac{2}{b}$. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $P=4a^3+b^3-4{\log }_2\left(4a^3+b^3\right)$ là: