Cho hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{c}\left(m-1\right)x+y=3m-4\\ x+\left(m-1\right)y=m\end{array}\right.$. Hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập đối với tham số m khi hệ có nghiệm duy nhất là:

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right|=5\ne 0$

Vì $D\ne 0$ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{5-a}{5};y=\frac{D_y}{D}=\frac{3a}{5}$

Khi đó:

$x^2+y^2={\left(\frac{5-a}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{5}\right)}^2$

$=\frac{25-10a+10a^2}{25}=\frac{10}{25}\left(a^2-a\right)+1=\frac{2}{5}{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{9}{10}\ge \frac{9}{10}$

Dấu “=” xảy ra $\iff a=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ m-1& m-1\end{array}\right|=m^2-m-2m+2=m^2-3m+2=\left(m-1\right)\left(m-2\right)$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 1& m-1\end{array}\right|=m^2-m-2=\left(m+1\right)\left(m-2\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& m\\ m-1& 1\end{array}\right|=-m^2+2m=-m\left(m-2\right)$

Nếu $D\ne 0\iff \left(m-1\right)\left(m-2\right)\ne 0\iff \left[\begin{array}{c}m\ne 1\\ m\ne 2\end{array}\right.$=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-m}{m-1}=-1-\frac{1}{m-1}\end{array}\right.$

Để x, y $\in$ Z. Suy ra $\left\{\begin{array}{c}\frac{2}{m-1}\in Z\\ \frac{1}{m-1}\in Z\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m-1\in U\left(2\right)=\left\{\pm 1;\pm 2\right\}\\ m-1\in U\left(1\right)=\left\{\pm 1\right\}\end{array}\right.\Rightarrow m-1\in U\left(1\right)=\left\{\pm 1\right\}=\left\{-1;1\right\}$

+) Với m – 1 = 1 ⇒ m = 2 (loại)

+) Với m – 1 = −1 ⇒ m = 0 (thoả mãn)

Nếu D = 0 $\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}\right.$

+) Với $m=1\Rightarrow D_x\ne 0$ suy ra hệ phương trình vô nghiệm 

+) Với $m=2\Rightarrow D=D_x=D_y=0$ suy ra hệ phương trình trở thành $\left\{\begin{array}{c}2x+2y=2\\ x+y=1\end{array}\right.$, khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy m = 0 hoặc m = 2 thoả mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A