Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $x^2-4\sqrt{x^2+1}-\left(m-1\right)=0$ có 4 nghiệm phân biệt

Ta có: $x^2-4x+6+3m=0\iff 3m=-x^2+4x-6$

Số nghiệm của phương trình $x^2-4x+6+3m=0$ là số giao điểm của đường thẳng $y=3m$ và parabol $y=-x^2+4x-6$

Parabol $y=-x^2+4x-6$ có hoành độ đỉnh $x=2\in \left[-1;3\right]$, hệ số $a=-1<0$ nên đồng biến khi $x<2$ và nghịch biến khi $x>2$.

Bảng biến thiên của hàm số $y=-x^2+4x-6$ trên đoạn $\left[-1;3\right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[-1;3\right]$ thì đường thẳng $y=3m$ phải cắt parabol tại ít nhất 1 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[-1;3\right]$$\iff -11\le 3m\le -2$$\iff -\frac{11}{3}\le m\le -\frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2m\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0$

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2m\left(x+\frac{1}{x}\right)-1=0\left(1\right)$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t,\left|t\right|\ge 2$ ta được $t^2-2mt-1=0\left(2\right)$

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm $t_1<0<t_2$ $\left(do a,c=-1<0a\right)$ ⇒ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t sao cho $\left|t\right|\ge 2$, hay ít nhất một trong hai số 2; −2 phải nằm giữa hai nghiệm $t_1,t_2$ hay $\left[\begin{array}{c}f\left(2\right)\le 0\\ f(-2)\le 0\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{c}3-4m\le 0\\ 3+4m\le 0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m\ge \frac{3}{4}\\ m\le -\frac{3}{4}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B