Lấy điểm O thuộc đường thẳng xy. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy ta vẽ hai tia Om,On không đối nhau. Chứng tỏ rằng có ít nhất một trong hai tia Ox,Oy nằm giữa hai tia Om, On.

Trên nửa mặt phẳng bờ m lấy hai điểm A và B, trên nửa mặt phẳng đối lấy điểm C (A, B,C $\notin$a).

a) Chứng tỏ rằng hai đoạn thẳng AC và BC cắt đường thẳng m.

b) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng AC, BC với đường thẳng m. Chứng tỏ rằng tia AK nằm giữa hai tia AB và AC, tia BI nằm giữa hai tia BA và BC.

c*) Giải thích tại sao hai đoạn thẳng AK và BI cắt nhau?

Cho ba điểm A,B,C không nằm trên đường thẳng d. Chứng tỏ rằng hoặc đường thẳng d không cắt đoạn thẳng nào trong ba đoạn thẳng AB, BC, CA hoặc đường thẳng d chỉ cắt hai trong ba đoạn thẳng đó.

Cho điểm A không thuộc đường thẳng m. Hai điểm B,C nằm trên một nửa mặt phẳng bờ m không chứa điểm A. Hỏi trong ba đoạn thẳng AB,AC và BC thì đoạn thẳng nào cắt đường thẳng m.

Cho hai tia MA và MB là hai tia đối nhau. Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Vẽ tia OA,OB,OM. Hỏi tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

Cho bốn điểm M,N,P,Q nằm ngoài đường thẳng d. Trong đó, M và N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d, P và Q thuộc một nửa mặt phẳng còn lại. Hỏi đường thẳng d cắt đoạn thẳng nào, không cắt đoạn thẳng nào trong các đoạn thẳng nối hai trong bốn điểm M,N,P,Q?

Vẽ hình theo cách diễn đạt trong mỗi trường hợp sau đây:

a) Ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Điểm D nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB và không chứa điểm C.

b) Hai điểm M, N nằm khác phía đối với đường thẳng a. Hai điểm N, P nằm cùng phía đối với đường thẳng a.

c) Hai đường thẳng m và n cắt nhau tại O. Điểm A thuộc một nửa mặt phẳng bờ n. Hai điểm A,B nằm khác phía đối với đường thẳng n nhưng cùng phía đối với đường thẳng m.

Cho biết hai điểm A, B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ d. Hỏi đoạn thẳng AB có cắt đường thẳng d hay không