Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.

          1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

          2) Chứng minh: MN² = NF.NA và MN = NH

          3) Chứng minh: $\frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{EF}{MF}=1$.

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có $\widehat{MBO}={90}^0, \widehat{MAO}={90}^0$ (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}={180}^0$.Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có $A\text{E}//MO\Rightarrow \widehat{A\mathit{\text{E}}M}=\widehat{EMN} \mathrm{mà} \widehat{AEM}=\widehat{MAF}\Rightarrow \widehat{EMN}=\widehat{MAF}$

$\Delta NMF\mathit{ }và\mathit{ }\Delta NAM$ có: $\widehat{MNA}$ chung; $\widehat{EMN}=\widehat{MAF}$

nên $\Delta NMF$ đồng dạng với $\Delta NAM$

$\Rightarrow \frac{NM}{NF}=\frac{NA}{NM}\Rightarrow N{M}^2=NF.NA\left(1\right)$

Mặt khác có: $\widehat{ABF}=\widehat{AEF}\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{EMN }hay \widehat{HBF}=\widehat{FMH}$ 

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{FHM}=\widehat{FBM}=\widehat{FAB} hay \widehat{FHN}=\widehat{NAH}$

Xét $\Delta NHF \& \Delta NAH có \widehat{ANH }chung; \widehat{NHF}=\widehat{NAH}$

=> $\Delta NMF$ đồng dạng $\Delta NAH\Rightarrow \Rightarrow \frac{NH}{NF}=\frac{NA}{NH}\Rightarrow N{H}^2=NF.NA\left(2\right)$ 

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh: $\frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{\text{EF}}{MF}=1$.

Xét $\Delta M\text{AF}$ và $\Delta ME\text{A}$ có: $\widehat{AME}$ chung, $\widehat{MAF}=\widehat{MEA}$

suy ra $\Delta M\text{AF}$ đồng dạng với $\Delta ME\text{A}$

$\Rightarrow \frac{ME}{MA}=\frac{MA}{MF}=\frac{AE}{AF}\Rightarrow \frac{{\displaystyle ME}}{{\displaystyle MF}}=\frac{{\displaystyle A{E}^2}}{{\displaystyle A{F}^2}}$     (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{MHB}={90}^0\Rightarrow \widehat{BFE}={90}^0$ và $\widehat{AFH}=\widehat{AHN}={90}^0\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{BFH}$

$\Delta AEF$ và $\Delta HBF$ có: $\widehat{EFA}=\widehat{BFH} ; \widehat{FEA}=\widehat{FBA}$

suy ra $\Delta AEF$ $~$ $\Delta HBF$ 

$\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{HB}{HF}\Rightarrow \frac{A{E}^2}{A{F}^2}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}$               (4)

Từ (3) và (4) ta có $\frac{ME}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{MF+FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff 1+\frac{FE}{MF}=\frac{H{B}^2}{H{F}^2}\iff \frac{H{B}^2}{H{F}^2}-\frac{FE}{MF}=1$