Câu hỏi:

13/07/2024 1,739

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{a + 1}{1 + b^{2}} + \frac{b + 1}{1 + c^{2}} + \frac{c + 1}{1 + a^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì: $\frac{a + 1}{1 + b^{2}} = a + 1 - \frac{b^{2} (a + 1)}{1 + b^{2}}; 1 + b^{2} \geq 2 b n ê n \frac{a + 1}{1 + b^{2}} \geq a + 1 - \frac{b^{2} (a + 1)}{2 b} = a + 1 - \frac{a b + b}{2}$

Tương tự: $\frac{b + 1}{1 + c^{2}} \geq b + 1 - \frac{b c + c}{2}; \frac{c + 1}{1 + a^{2}} \geq c + 1 - \frac{c a + a}{2} \Rightarrow M \geq a + b + c + 3 - \frac{(a + b + c) + (a b + b c + c a)}{2} = 3 + \frac{3 - (a b + b c + c a)}{2}$

Chứng minh được: $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 a c \Rightarrow \frac{3 - (a b + b c + c a)}{2} \geq 0 \Rightarrow M \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Giá trị nhỏ nhất của M bằng 3.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ một điểm M ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn tại E (E khác A), đường thẳng ME cắt đường tròn tại F (F khác E), đường thẳng AF cắt MO tại N, H là giao điểm của MO và AB.
          1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn
          2) Chứng minh: MN² = NF.NA và MN = NH
          3) Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{E F}{M F} = 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có $\hat{M B O} = 90^{0}, \hat{M A O} = 90^{0}$ (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra: $\hat{M A O} + \hat{M B O} = 180^{0}$ .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có $A E / / M O \Rightarrow \hat{A E M} = \hat{E M N} mà \hat{A E M} = \hat{M A F} \Rightarrow \hat{E M N} = \hat{M A F}$

$Δ N M F v à Δ N A M$ có: $\hat{M N A}$ chung; $\hat{E M N} = \hat{M A F}$

nên $Δ N M F$ đồng dạng với $Δ N A M$

$\Rightarrow \frac{N M}{N F} = \frac{N A}{N M} \Rightarrow N M^{2} = N F . N A (1)$

Mặt khác có: $\hat{A B F} = \hat{A E F} \Rightarrow \hat{A B F} = \hat{E M N} h a y \hat{H B F} = \hat{F M H}$

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \hat{F H M} = \hat{F B M} = \hat{F A B} h a y \hat{F H N} = \hat{N A H}$

Xét $Δ N H F & Δ N A H c ó \hat{A N H} c h u n g; \hat{N H F} = \hat{N A H}$

=> $Δ N M F$ đồng dạng $Δ N A H \Rightarrow \Rightarrow \frac{N H}{N F} = \frac{N A}{N H} \Rightarrow N H^{2} = N F . N A (2)$

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh: $\frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{EF}{M F} = 1$ .

Xét $Δ M AF$ và $Δ M E A$ có: $\hat{A M E}$ chung, $\hat{M A F} = \hat{M E A}$

suy ra $Δ M AF$ đồng dạng với $Δ M E A$

$\Rightarrow \frac{M E}{M A} = \frac{M A}{M F} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow \frac{M E}{M F} = \frac{A E^{2}}{A F^{2}}$ (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \hat{M F B} = \hat{M H B} = 90^{0} \Rightarrow \hat{B F E} = 90^{0}$ và $\hat{A F H} = \hat{A H N} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A F E} = \hat{B F H}$

$Δ A E F$ và $Δ H B F$ có: $\hat{E F A} = \hat{B F H}; \hat{F E A} = \hat{F B A}$

suy ra $Δ A E F$ $~$ $Δ H B F$

$\Rightarrow \frac{A E}{A F} = \frac{H B}{H F} \Rightarrow \frac{A E^{2}}{A F^{2}} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có $\frac{M E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{M F + F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow 1 + \frac{F E}{M F} = \frac{H B^{2}}{H F^{2}} \Leftrightarrow \frac{H B^{2}}{H F^{2}} - \frac{F E}{M F} = 1$

Câu 2

Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy.

ĐK: $x, y \in N *$ .

Theo giả thiết ta có: $x + y = 900$ (1)

Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai:

Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy

Theo giả thiết ta có: $1, 1 x + 1, 12 y = 1000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 900 \\ 1, 1 x + 1, 12 y = 1000 \end{cases}$

Giải hệ phương trình được $\{\begin{cases} x = 400 \\ y = 500 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy trong tháng đầu tổI sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết.

Câu 3

Tìm m để phương trình: $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai đường thẳng (d): $y = - x + m + 2$ và (d’): $y = (m^{2} - 2) x + 3$ . Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}}) : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}$ với $x > 0; x \neq 1; x \neq 4$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giải phương trình sau: $(2 x - 1) (x + 2) = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a+b+c= 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{a + 1}{1 + b^{2}} + \frac{b + 1}{1 + c^{2}} + \frac{c + 1}{1 + a^{2}}$

Tìm m để phương trình: $x^{2} + 5 x + 3 m - 1 = 0$ (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} - x_{2}^{3} + 3 x_{1} x_{2} = 75$ .

Cho hai đường thẳng (d): $y = - x + m + 2$ và (d’): $y = (m^{2} - 2) x + 3$ . Tìm m để (d) và (d’) song song với nhau

Rút gọn biểu thức: $P = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}}) : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}$ với $x > 0; x \neq 1; x \neq 4$

Giải phương trình sau: $(2 x - 1) (x + 2) = 0$