Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DE lấy điểm K sao cho DK = DE.

a) Chứng minh $∆BDE = ∆ADK$ và AK // BC.

b) Chứng minh $∆AKE = ∆ECA.$

c) Cho $\widehat{A} = 65°, \widehat{C}= 55°$. Tính số đo các góc của tam giác DAK.

d) Gọi I là trung điểm của AE. Chứng minh I là trung điểm của CK.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ACB}= 30°$. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại M. Lấy điểm K trên cạnh BC sao cho BK = BA.

a) Chứng minh $∆ABM = ∆KBM$

b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM. Chứng minh tam giác MEC cân.

c) Chứng minh tam giác BEC đều.

d) Kẻ $AH\perp EM. (H\in EM)$. Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N. Chứng minh $KN\perp AC.$

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA.

a) Chứng minh AC = BM và AC // BM.

b) Chứng minh $∆ABM =∆MCA.$

c) Kẻ $AH \perp BC, MK\perp BC (H, K \in BC)$. Chứng minh BK = CH.

d) Chứng minh HM // AK.

Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại M

a) Chứng minh $∆AMB = ∆AMC.$

b) Kẻ $ME\perp AB (E\in AB), MF\perp AC (F\in AC)$. Chứng minh tam giác AEF cân.

c) Chứng minh $AM\perp EF.$

d) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng FM tại I Chứng minh BE = BI

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}= 55°$. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.

a) Tính số đo $\widehat{ACB}$

b) Chứng minh $∆ABC = ∆CDA$ và AD//BC.

c) Kẻ $AH\perp BC (H\in BC)$ và $CK\perp AD (K \in AD)$. Chứng minh BH = DK.

d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng và 3 đường thẳng AC, HK, BD cùng gặp nhau ở I.

Cho góc xOy bằng $100°$, tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điểm H thuộc tia Oz, đường thẳng vuông góc với OH tại H cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B.

a) Chứng minh HA = HB, OA = OB.

b) Tính số đo các góc của tam giác OAB.

c) Trên tia Oz lấy điểm C sao cho $\widehat{HBC} = 60°$. Chứng minh tam giác ABC đều.

d) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BO. Chứng minh AB = OE.

e) Cho AH = 1 cm. Tính độ dài HC.

Cho tam giác ABC cân tại A, AB > BC, H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: $∆ABH = ∆ACH$. Từ đó suy ra AH vuông góc với BC.

b) Tính độ dài AH nếu BC = 4 cm, AB = 6 cm.

c) Tia phân giác của góc B cắt AH tại I. Chứng minh tam giác BIC cân.

d) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt tia BI, CI lần lượt tại M, N. Chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng MN.

e) Kẻ IE vuông góc với AB tại E, IF vuông góc với AC tại F. Chứng  minh IH = IE = IF

f) Chứng minh: IC vuông góc với MC.