Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ trung tuyến AD (D ÎBC), gọi F là trung điểm của AC. Lấy điểm E đối xứng với A qua tâm D.

a) Tứ giác ABEC là hình gì? Vì sao?

b) Gọi G là trung điểm của DC. Tính độ dài FG, biết BC = 8cm.

c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ABEC là hình vuông

a) Ta chứng minh $\left\{\begin{array}{l}AN=CM\\ AN\parallel CM\end{array}\right.\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC

Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo

$\Rightarrow$ O là trung điểm MN

b. Ta có: EM//AC nên $\widehat{EMD}=\widehat{ACD}$ (2 góc so le trong)

NF//AC nên $\widehat{BNF}=\widehat{BAC}$ (2 góc so le trong)

Mà $\widehat{ACD}=\widehat{BAC}$ (vì AB//DC, tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow \widehat{EMD}=\widehat{BNF}$

Từ đó chứng minh được $∆EDM = ∆FBN (g.c.g)$

$\Rightarrow EM=FN$

Lại có EM//FN (vì cùng song song với AC)

Nên tứ giác ENFM là hình bình hành

c) Tứ giác ANCM là hình thoi Û AC ^ MN tại O Þ M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O, vuông góc AC và cắt CD, AB.

Khi đó M và N là trung điểm của CD và AB.

d) Ta chứng minh được DBOC cân tại $O\Rightarrow \widehat{OCB}=\widehat{OBC} và \widehat{NFB}=\widehat{OCF}$ (đv) Þ DBFI cân tại I Þ IB = IF  (1)

Ta lại chứng minh được DNIB cân tại I Þ IN = IB  (2)

Từ (1) và (2) Þ I là trung điểm của NF.

Câu 1. S               Câu 2.Đ

Câu 3.S                Câu 4.Đ