Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x2y2x2+y2+x2y2+y2x2

Biến đổi M, ta đượcM = 4x2y2x2+y2+x2y2+y2x2 = 4xy+yx2+xy2+yx2Đặt a=xy;b=yx ta được ab = 1, suy ra a2+b2≥2Từ đó ta cóM = 4a+b2+a2+b2 = 4a2+b2+2+a2+b2+24 +3a2+b2+24-2 ≥ 2 + 3 – 2 = 3Dấu "=" xảy ra <=> a = b = ±1 <=>

Câu hỏi:

12/07/2024 1,538

Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{4 x^{2} y^{2}}{(x^{2} + y^{2})} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chương 4 - Đề kiểm tra chương 4 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Biến đổi M, ta được

M = $\frac{4 x^{2} y^{2}}{(x^{2} + y^{2})} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$ = $\frac{4}{{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x})}^{2}} + {(\frac{x}{y})}^{2} + {(\frac{y}{x})}^{2}$

Đặt $a = \frac{x}{y}; b = \frac{y}{x}$ ta được ab = 1, suy ra $a^{2} + b^{2} \geq 2$

Từ đó ta có

M = $\frac{4}{{(a + b)}^{2}} + a^{2} + b^{2}$ = $\frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2} + \frac{a^{2} + b^{2} + 2}{4}$ $+ \frac{3 (a^{2} + b^{2} + 2)}{4} - 2$ ≥ 2 + 3 – 2 = 3

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = ±1 <=>

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (HB < R). Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC, toa AM cắt đường thăng CD tại N; MB cắt CD tại E
a, Chứng minh các tứ giác AMEH và MNBH nội tiếp
b, Chứng minh NM.NA = NC.ND = NE.NH
c, Nối BN cắt (O) tại K (K ≠ B). Đường thẳng KH cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh ba điểm A, E, K thẳng hàng và ∆AMF cân.
d, Chứng minh rằng khi M di dộng trên cung nhỏ AC thì I luôn thuộc một đường tròn cố định

Xem đáp án

Lời giải

a, HS tự chứng minh

b, Chứng minh ∆NMC:∆NDA và ∆NME:∆NHA

c, Chứng minh ∆ANB có E là trực tâm => AE $⊥$ BN mà có AK $⊥$ BN nên có ĐPCM

Chứng minh tứ giác EKBH nội tiếp, từ đó có $\hat{A K F} = \hat{A B M}$

d, Lấy P và G lần lượt là trung điểm của AC và OP

Chứng minh I thuộc đường tròn (G, GA)

Câu 2

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch phải chở hết 200 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 4 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm

Xem đáp án

Lời giải

Gọi thời gian đội chở hàng và số hàng đội cần chở mỗi ngày theo kế hoạch lần lượt là x (ngày) và y (tấn/ngày)

ĐK: x $\in$ N*; x > 1

Theo đề bài ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x y = 200 \\ (x - 1) (y + 4) = 216 \end{cases}$

Giải ra ta được x = 10; y = 20 (TMĐK)

Kết luận

Câu 3

Cho các biểu thức:
A = $\frac{x - 3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ và B = $(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3}{\sqrt{x} + 3}) : \frac{x + 9}{2 \sqrt{x} + 6}$
với x ≥ 0 và x ≠ 9
a, Tính giá trị của A khi x = 25
b, Rút gọn B
c, Tìm các giá trị x nguyên để A.B có giá trị nguyên

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

a, Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y - 3) = x y - 3 \end{cases}$
b, Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho prabol (P): $y = x^{2}$ và đường thẳng d: $y = 2 x + m^{2} - 2 m$ . Tìm các giá trị của m để d cắt (P) cắt tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung Oy

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho x, y là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = $\frac{4 x^{2} y^{2}}{(x^{2} + y^{2})} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$