Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình: x2 + ( 2m – 1 )x + m2 – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức P = ( x1 )2 + ( x2 )2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Để phương trình: x2 + ( 2m – 1 )x + m2 – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì Δ > 0⇔−4m+5>0⇔m < 54 Với m<54 thì phương trình có 2 nghiện phân biệt x1, x2 khi đó theo hệ thức vi étTa có: x1 + x2 = 1-2m ; x1.x2 = m2 – 1Nên P = ( x1 )2 + ( x2 )2 = (x1 + x2 )2 – 2x1.x2 = ( 1-2m)2 – 2(m2 – 1)= 1-4m+4m2-2m2+2= 2m2-4m+2+1 = 2( m – 1 )2 + 1= 1Đẳng thức xảy ra ⇔(m−1)2=0⇔m=1 (thỏa đk)Pmin = 1 khi m = 1 < 5/4 Vậy với m=1 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi:

12/07/2024 611

Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình: x² + ( 2m – 1 )x + m² – 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho biểu thức P = ( x₁ )²+ ( x₂ )² đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Để phương trình: x² + ( 2m – 1 )x + m² – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

thì $Δ > 0 \Leftrightarrow - 4 m + 5 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}$

Với m $< \frac{5}{4}$ thì phương trình có 2 nghiện phân biệt x₁, x₂ khi đó theo hệ thức vi ét

Ta có: x₁ + x₂ = 1-2m ; x₁.x₂ = m² – 1

Nên P = ( x₁ )²+ ( x₂ )² = (x₁ + x₂ )²– 2x₁.x₂ = ( 1-2m)² – 2(m² – 1)= 1-4m+4m²-2m²+2

= 2m²-4m+2+1 = 2( m – 1 )² + 1= 1

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa đk)

P_min = 1 khi m = 1 < 5/4

Vậy với m=1 thì biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Để tăng sự an toàn nên đến khi thực hiện, đội xe được bổ sung thêm 4 chiếc xe, lúc này số tấn hàng của mỗi xe chở ít hơn số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là 1 tấn. Tính số tấn hàng của mỗi xe dự định chở, biết số tấn hàng của mỗi xe chở khi dự định là bằng nhau, khi thực hiện là bằng nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1: Gọi x(xe) là số xe của đội lúc đầu ( x nguyên dương)

Số tấn hàng mỗi xe dự định chở $\frac{120}{x}$ (tấn)

x+4 (xe) là số xe của đội lúc sau

Số tấn hàng mỗi xe khi thực hiện chở $\frac{120}{x + 4}$ (tấn)

Theo đề bài ta có phương trình $\frac{120}{x}$ - $\frac{120}{x + 4}$ = 1

Giải phương trình ta được x=20 (thỏa đk); x=-24 (không thỏa đk)

Vậy số tấn hàng mỗi xe dụ định chở là 120:20=6 (tấn)

Cách 2:

Gọi x là số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở ( x nguyên dương, x > 1 )

Số tấn hàng của mỗi xe lúc sau chở: x – 1 ( tấn )

Số xe dự định ban đầu : $\frac{120}{x}$ ( xe )

Số xe lúc sau : $\frac{120}{x - 1}$ ( xe )

Theo đề bài ta có phương trình : $\frac{120}{x - 1}$ – $\frac{120}{x}$ = 4

Giải pt ta được : x₁ = 6 ( nhận ); x₂ = –5 ( loại )

Vậy số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở là : 6 (tấn )

Câu 2

Giải phương trình $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

$x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} + x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 3 = 0 \\ x^{2} + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{3} \\ V n (x^{2} \geq 0 \Rightarrow x^{2} + 1 > 0) \end{array}$

Vây phương trình có tập nghiệm $S = \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$

Cách 2: Đặt t=x² ( $t \geq 0)$ ta có phương trình t²-2t-3=0 (2)

Ta có a-b+c=1+2-3=0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t₁=-1(loại);t₂=3(nhận)

Với t₂=3 $\Leftrightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{- \sqrt{3}; \sqrt{3}\}$

Câu 3