Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, G thứ tự là điểm thuộc AB, BC, CD, DA sao cho $\frac{AP}{AB}=\frac{BQ}{BC}=\frac{CR}{C\text{D}}=\frac{DG}{DA}=\frac{1}{3}.$ 

Các đoạn AQ và CG cắt BR và DP theo thứ tự tại I, K, M, N.

Chứng minh:

a) Tứ giác IKMN là hình gì ?

b) PR và QG cắt nhau ở trung điểm mỗi đường.

c) DBCR và DCDG có diện tích bằng nhau.

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ^ AB; MF ^ AD.

a) Chứng minh: DE = CF;

b) Chứng minh DE ^ FC;

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AMEF lớn nhất

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh đối diện của tam giác ABC tại D, E, F. Chứng minh $\frac{AM}{A\text{D}}+\frac{BM}{BE}+\frac{CM}{CF}=2.$

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm, BC = 6cm. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy M, N sao cho AM = AN = x.

a) Tính diện tích đa giác MBCDN theo x

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho BE = 3EA. Trên cạnh BC lấy một điểm F sao cho BF = 4FC. Gọi D là giao điểm của AF và CE.

a) Chứng minh S_ACF = S_AEF.

b) Từ E và C kẻ EH, CK vuông góc với AF. Chứng minh EH = CK.

c) Chứng minh CD = DE.

d) Chứng minh S_ABC = 2S_ABD

Cho hình vuông ABCD cạnh 12cm. Các điểm M, N lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AM = DN = x.

a) Tính diện tích tam giác AMN theo x.

b) Tìm x để diện tích tam giác AMN bằng $\frac{1}{9}$ diện tích hình vuông ABCD

Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC.

a) Chứng minh A, E, F thẳng hàng.

          b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC là hình bình hành, hình chữ nhật không?

          c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất

Cho tam giác ABC có đáy BC = 30cm, chiều cao AH = 20cm. Một đường thẳng song song với BC cánh BC là 5cm cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Tính diện tích tam giác ADE