Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n ta đều có ${\mathrm{m}}^3\mathrm{n}-{\mathrm{mn}}^3$ chia hết cho 6.

Cho $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ $\mathrm{HE}\perp \mathrm{AB}$, $\mathrm{HF}\perp \mathrm{AC}$ $\left(\mathrm{E}\in \mathrm{AB};\mathrm{F}\in \mathrm{AC}\right)$.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

Khai triển hằng đẳng thức ${\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2$ được kết quả là

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC tại D, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

Tìm x, biết: $\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-4\right)+3\mathrm{x}-12=0$

Người ta làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng của một hồ nước hình chữ nhật (như hình bên). Em hãy tính chiều rộng x (mét: điều kiện x>0) của lối đi, biết rằng lối đi có diện tích bằng $26\left({\mathrm{m}}^2\right)$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: ${\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2\left(8+\mathrm{ab}\right)$ và a < b.

Tính giá trị của biểu thức: $\mathrm{P}={\mathrm{a}}^2\left(\mathrm{a}+1\right)-{\mathrm{b}}^2\left(\mathrm{b}-1\right)$$+\mathrm{ab}-3\mathrm{ab}\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+1\right)+64$

Tìm x:

a) ${\left(2\mathrm{x}-1\right)}^2-25=0$

b) ${\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+6=0$