Câu hỏi:

12/07/2024 2,700

Cho $ΔABC$ nhọn. Gọi O, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh: OE // BC
b) Từ A vẽ $AH ⊥ BC$ tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.
c) Giả sử BA = BC. Chứng minh $EH ⊥ EK$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Chứng minh: OE // BC

Xét tam giác ABC có:

O là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=> OE là đường trung bình của tam giác ABC

=> OE // BC (định lý đường trung bình trong tam giác)

b) Từ A vẽ $AH ⊥ BC$ tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.

Vì K là điểm đối xứng của H qua O nên O là trung điểm của HK.

Xét tứ giác AHBK ta có:

O là trung điểm của HK

O là trung điểm của AB

O là giao điểm của đường chéo HK và AB.

Suy ra, tứ giác AHBK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác, $AH ⊥ BC$ tại H nên $\hat{AHB} = 90^{\circ}$

=> Tứ giác AHBK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

c) Giả sử BA = BC. Chứng minh $EH ⊥ EK$ .

Theo câu a) ta có OE là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow OE = \frac{1}{2} BC$ mà $BA = BC \Rightarrow OE = \frac{1}{2} BA$ (1)

Ta lại có: AHBK là hình chữ nhật nên AB = HK (tính chất của hình chữ nhật)

$\Rightarrow OK = OH = \frac{1}{2} KH = \frac{1}{2} BA$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OK = OH

Ta có:

+) OE = OK => $ΔEOK$ cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{OKE} = \hat{OEK}$ (tính chất)

+) OE = OH => $ΔEOH$ cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow \hat{OHE} = \hat{OEH}$ (tính chất)

Xét tam giác EKH ta có:

$\hat{HKE} + \hat{KEH} + \hat{EHK} = 180^{\circ}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \hat{OKE} + \hat{OEK} + \hat{OHE} + \hat{OEH} = 180^{\circ}$

$\Rightarrow 2 (\hat{OEK} + \hat{OEH}) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{OEK} + \hat{OEH} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{KEH} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow EK ⊥ EH$ tại E

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho $ΔABC$ vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH. Từ H kẻ $HE ⊥ AB$ , $HF ⊥ AC$ $(E \in AB; F \in AC)$ .
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.
c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

$ΔABC$ vuông tại A $\Rightarrow \hat{BAC} = 90^{\circ}$

Vì $HE ⊥ AB$ , $HF ⊥ AC$ nên $\hat{HEA} = 90^{\circ}, \hat{HFA} = 90^{\circ}$ .

Xét tứ giác AEHF ta có:

$\hat{EAF} = \hat{HEA} = \hat{HFA} = 90^{\circ}$

Suy ra, tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

Vì AEHF là hình chữ nhật suy ra EH // AF và EH = AF (tính chất của hình chữ nhật)

Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD. Suy ra, AF = FD.

Do đó, EH // FD và EH = FD.

Suy ra, DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

+) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.

+) Gọi O là giao điểm của EF và AM.

Vì AM là đường trung tuyến của $ΔABC$ nên AM = MC suy ra $ΔAMC$ cân tại M. Do đó, $\hat{MAC} = \hat{MCA}$ .

Vì EHFA là hình chữ nhật, có I là giao điểm hai đường chéo nên ta có $\hat{IAF} = \hat{IFA}$ .

Xét $ΔAHC$ ta có: $\hat{HAC} + \hat{HCA} {=90}^{\circ}$ hay $\hat{IAF} + \hat{MCA} {=90}^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{IFA} + \hat{MAC} = 90^{\circ}$ hay $\hat{OFA} + \hat{OAF} = 90^{\circ}$

Xét $ΔOAF$ có $\hat{OFA} + \hat{OAF} = 90^{\circ}$ suy ra $\hat{AOF} = 90^{\circ}$

=> EF vuông góc với AM tại O hay IF vuông góc với AM tại O.

+) Xét $ΔKAM$ ta có:

$GM ⊥ KA$ tại G

$AH ⊥ KM$ tại H

Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của $ΔKAM$ .

$\Rightarrow KI ⊥ AM$ mà $IF ⊥ AM$

=> K, I, F thẳng hàng.

Ta có:

Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Ba điểm K, I, F thẳng hàng.

=> Bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.

Câu 2

Khai triển hằng đẳng thức ${(x - y)}^{2}$ được kết quả là

Xem đáp án

Lời giải

Ta có ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 xy + y^{2}$

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC tại D, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Người ta làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng của một hồ nước hình chữ nhật (như hình bên). Em hãy tính chiều rộng x (mét: điều kiện x>0) của lối đi, biết rằng lối đi có diện tích bằng $26 (m^{2})$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tìm x, biết: $x (x - 4) + 3 x - 12 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: $a^{2} + b^{2} = 2 (8 + ab)$ và a < b.
Tính giá trị của biểu thức: $P = a^{2} (a + 1) - b^{2} (b - 1)$ $+ ab - 3 ab (a - b + 1) + 64$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm x:
a) ${(2 x - 1)}^{2} - 25 = 0$
b) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho ΔABC nhọn. Gọi O, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.a) Chứng minh: OE // BCb) Từ A vẽ AH⊥BC tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.c) Giả sử BA = BC. Chứng minh EH⊥EK .

Khai triển hằng đẳng thức x−y2 được kết quả là

Người ta làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng của một hồ nước hình chữ nhật (như hình bên). Em hãy tính chiều rộng x (mét: điều kiện x>0) của lối đi, biết rằng lối đi có diện tích bằng 26 m2

Tìm x, biết: xx−4+3x−12=0

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: a2+b2=28+ab và a < b.Tính giá trị của biểu thức: P=a2a+1−b2b−1+ab−3aba−b+1+64

Tìm x:a) 2x−12−25=0b) x2+5x+6=0

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $ΔABC$ nhọn. Gọi O, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh: OE // BC
b) Từ A vẽ $AH ⊥ BC$ tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.
c) Giả sử BA = BC. Chứng minh $EH ⊥ EK$ .

Khai triển hằng đẳng thức ${(x - y)}^{2}$ được kết quả là

Người ta làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng của một hồ nước hình chữ nhật (như hình bên). Em hãy tính chiều rộng x (mét: điều kiện x>0) của lối đi, biết rằng lối đi có diện tích bằng $26 (m^{2})$

Tìm x, biết: $x (x - 4) + 3 x - 12 = 0$

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: $a^{2} + b^{2} = 2 (8 + ab)$ và a < b.
Tính giá trị của biểu thức: $P = a^{2} (a + 1) - b^{2} (b - 1)$ $+ ab - 3 ab (a - b + 1) + 64$

Tìm x:
a) ${(2 x - 1)}^{2} - 25 = 0$
b) $x^{2} + 5 x + 6 = 0$