Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại S. Gọi I là trung điểm của BC

a, Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp

b, Vẽ dây cung AD vuông góc với SO tại H. AD cắt BC tại K. Chứng minh SD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Chứng minh SK.SI = SB.SC

d, Vẽ đường kính PQ đi qua điểm I (Q thuộc cung CD), SP cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh M, K, Q thẳng hàng

a, Ta có: BC là dây cung, I là trung điểm của BC

=> OI ⊥ BC

Xét tứ giác SAOI có:

∠SAO = ${90}^0$ (Do SA là tiếp tuyến của (O))

∠SOI = ${90}^0$ (OI ⊥ BC)

=> ∠SAO + ∠SOI = ${180}^0$

=> Tứ giác SAOI là tứ giác nội tiếp

b, Tam giác AOD cân tại O có OH là đường cao

=> OH cũng là trung trực của AD

=> SO là trung trực của AD

=> SA = SA => ΔSAD cân tại S

=> ∠SAD = ∠SDA

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\angle SAD=\angle SDA\\ \angle OAD=\angle ODA\end{array}\right.$ => ∠SAD + ∠OAD = ∠SDA + ∠ODA

⇔ ∠SAO = ∠SDO ⇔ ∠SDO = ${90}^0$

Vậy SD là trung tuyến của (O)

c, Xét ΔSAB và ΔSCA có:

∠ASC là góc chung

∠SAB = ∠ACB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

=> ΔSAB ∼ ΔSCA

=> $\frac{SA}{SC}$ = $\frac{SB}{SA}$

=> $SB.SC=S{A}^2$ (1)

ΔSAO vuông tại O có AH là đường cao

=> $S{A}^2=SH.SO$ (2)

Xét ΔSKH và ΔSOI có:

∠OSI là góc chung

∠SHK = ∠SIO = ${90}^0$

=> ΔSKH ∼ ΔSOI

=> $\frac{SK}{SO}$ = $\frac{SH}{SI}$ => SK.SI = SH.SO (3)

Từ (1), (2) và (3) => SK.SI = SB.SC

d, Ta có: ∠PMQ = ${90}^0$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> PS ⊥ MQ

Xét ΔSAM và ΔSPA có:

∠ASP là góc chung

∠SAM = ∠SPA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AM)

=> ΔSAM ∼ ΔSPA

=> $\frac{SA}{SP}$ = $\frac{SM}{SA}$ => $SP.SM=S{A}^2$

Do đó ta có:

SP.SM = SK.SI <=> $\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

Xét ΔSKM và ΔSPI có:

$\frac{SM}{SI}$ = $\frac{SK}{SP}$

∠ISP là góc chung

=> ΔSKM ∼ ΔSPI

=> ∠SMK = ∠SIP = ${90}^0$ => MK ⊥ SP

Ta có: PS ⊥ MQ ; MK ⊥ SP => M;Q;K thẳng hàng