Giải phương trình $2{\mathrm{x}}^4-21{\mathrm{x}}^3+74{\mathrm{x}}^2-105\mathrm{x}+50=0$

Ta có

Có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi có 2 nghiệm phân biệt khác 1

a) Đặt $\mathrm{t}={\mathrm{x}}^2$ với điều kiện $\mathrm{t}\ge 0$. Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{mt}}^2-2\left(\mathrm{m}-1\right)\mathrm{t}+\mathrm{m}-1=0\left(2\right)$

Ta xét hai trường hợp:

TH1: với m = 0, ta được:

Vậy với m = 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

TH2: với $\mathrm{m}\ne 0$ thì:

a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$\iff \left(2\right)$ có nghiệm ${\mathrm{t}}_1\le 0={\mathrm{t}}_2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{S}\le 0\\ \mathrm{P}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{2\left(\mathrm{m}-1\right)}{\mathrm{m}}\le 0\\ \frac{\mathrm{m}-1}{\mathrm{m}}=0\end{array}\right.$

$\iff \mathrm{m}=1$

Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm

Vậy với $0\le \mathrm{m}<1$ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Hệ trên vô nghiệm, vậy không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Vậy m < 0 để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.