Cho phương trình ${\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{mx}}^2+\mathrm{mx}+\mathrm{m}$$-1=0\left(1\right)$. Xác định m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm phương trình. Chia cả hai vế phương trình cho ${\mathrm{x}}^2\ne 0$, ta được $2\left({\mathrm{x}}^2+\frac{25}{{\mathrm{x}}^2}\right)-21\left(\mathrm{x}+\frac{5}{\mathrm{x}}\right)+74=0$

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{x}+\frac{5}{\mathrm{x}}$, suy ra ${\mathrm{x}}^2+\frac{25}{{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{t}}^2-10$

Khi đó phương trình có dạng:

$2{\mathrm{t}}^2-21\mathrm{t}+54=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{t}=6\\ \mathrm{t}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$

Với t = 6 ta có $6=\mathrm{x}+\frac{5}{\mathrm{x}}$

$\iff {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+5=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=5\end{array}\right.$

Với $\mathrm{t}=\frac{9}{2}$ ta có $\mathrm{x}+\frac{5}{\mathrm{x}}=\frac{9}{2}$

$\iff 2{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+10=0\iff \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

a) Đặt $\mathrm{t}={\mathrm{x}}^2$ với điều kiện $\mathrm{t}\ge 0$. Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{mt}}^2-2\left(\mathrm{m}-1\right)\mathrm{t}+\mathrm{m}-1=0\left(2\right)$

Ta xét hai trường hợp:

TH1: với m = 0, ta được:

Vậy với m = 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

TH2: với $\mathrm{m}\ne 0$ thì:

a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

$\iff \left(2\right)$ có nghiệm ${\mathrm{t}}_1\le 0={\mathrm{t}}_2$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{S}\le 0\\ \mathrm{P}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{2\left(\mathrm{m}-1\right)}{\mathrm{m}}\le 0\\ \frac{\mathrm{m}-1}{\mathrm{m}}=0\end{array}\right.$

$\iff \mathrm{m}=1$

Vậy với m = 1 phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm

Vậy với $0\le \mathrm{m}<1$ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Hệ trên vô nghiệm, vậy không tồn tại m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

d) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Vậy m < 0 để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.