Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu, mỗi đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

a, Xét tứ giác BEFC có:

∠BEC = ${90}^0$ (CE là đường cao)

∠BFC = ${90}^0$ (BF là đường cao)

=> 2 đỉnh E, F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEHF có:

∠AEH = ${90}^0$ (CE là đường cao)

∠AFH = ${90}^0$ (BF là đường cao)

=> ∠AEH + ∠AFH = ${180}^0$

=> Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp

b,

Xét ΔSBE và ΔSFC có:

∠FSC là góc chung

∠SEB = ∠SCF (Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp)

=> ΔSBE ∼ ΔSFC (g.g)

=> $\frac{SB}{SF}$ = $\frac{SE}{SC}$

=> SE.SF = SB.SC (1)

Xét ΔSMC và ΔSNB có:

∠ NSC là góc chung

∠ SCM = ∠SNB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

=> ΔSMC ∼ ΔSBN (g.g)

=> $\frac{SM}{SB}$ = $\frac{SC}{SN}$

=>SM.SN = SB.SC (2)

Từ (1) và (2) => SE.SF = SM.SN

c, Ta có:

$\widehat{KAE}=\widehat{KCB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KB)

$\widehat{HAE}=\widehat{BFM}$ (tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp)

$\widehat{KCB}=\widehat{BFM}$ (tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp)

=> ∠KAE = ∠HAE

=> AE là tia phân giác của góc ∠KAH

Mà AE cũng là đường cao của tam giác KAH

=> ΔKAH cân tại A

=> AE là đường trung tuyến của ΔKAH

=> E là trung điểm của KH hay K và H đối xứng nhau qua AB

d, Tia BF cắt đường tròn (O) tại J

∠KJB = ∠KCB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KB)

∠KCB = ∠EFH (tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp )

=> ∠KJB = ∠EFH

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> KJ // EF

KI // EF (gt)

=> I ≡ J

=> H, F, J thẳng hàng

Ta có:

Vì a, b, c > 0 nên

Tương tự, ta có:

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c